giúp tôi chọn đáp án đúng với

Câu 29. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 1 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tính nguyên hàm của \( 3x^2 \). \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] Bước 2: Tính nguyên hàm của \( 1 \). \[ \int 1 \, dx = x \] Bước 3: Cộng các kết quả trên lại và thêm hằng số \( C \). \[ \int (3x^2 + 1) \, dx = x^3 + x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + 1 \) là \( x^3 + x + C \). Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~x^3 + x + C \] Câu 30. Để tìm nguyên hàm $\int x(x^2+7)^{15}dx$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đổi biến số. Bước 1: Đặt $u = x^2 + 7$. Khi đó, $du = 2x dx$ hoặc $x dx = \frac{1}{2} du$. Bước 2: Thay vào nguyên hàm: \[ \int x(x^2+7)^{15}dx = \int (x^2+7)^{15} \cdot x dx = \int u^{15} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{15} du. \] Bước 3: Tính nguyên hàm của $u^{15}$: \[ \frac{1}{2} \int u^{15} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{16}}{16} + C = \frac{u^{16}}{32} + C. \] Bước 4: Quay lại biến số ban đầu: \[ \frac{u^{16}}{32} + C = \frac{(x^2 + 7)^{16}}{32} + C. \] Vậy nguyên hàm của $\int x(x^2+7)^{15}dx$ là $\frac{(x^2 + 7)^{16}}{32} + C$. Đáp án đúng là: $D.~\frac1{32}(x^2+7)^{16}+C$. Câu 31. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^{3x} \), chúng ta sẽ áp dụng công thức nguyên hàm của hàm số mũ \( e^{ax} \). Công thức nguyên hàm của hàm số \( e^{ax} \) là: \[ \int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C \] Trong trường hợp này, \( a = 3 \). Do đó, nguyên hàm của \( e^{3x} \) là: \[ \int e^{3x} \, dx = \frac{1}{3} e^{3x} + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^{3x} \) là: \[ \frac{1}{3} e^{3x} + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~\frac{1}{3} e^{3x} + C \] Câu 32. Để tính $\int(x - \sin 2x) \, dx$, ta sẽ tính từng phần riêng lẻ. 1. Tính $\int x \, dx$: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 \] 2. Tính $\int \sin 2x \, dx$: \[ \int \sin 2x \, dx = -\frac{\cos 2x}{2} + C_2 \] Gộp lại ta có: \[ \int (x - \sin 2x) \, dx = \frac{x^2}{2} - \left(-\frac{\cos 2x}{2}\right) + C = \frac{x^2}{2} + \frac{\cos 2x}{2} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{x^2}{2} + \frac{\cos 2x}{2} + C \] Câu 33. Để tìm nguyên hàm của hàm số $y = e^{2x-1}$, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến số. Bước 1: Xác định biến số mới. Gọi $u = 2x - 1$. Bước 2: Tính vi phân của biến số mới. $du = d(2x - 1) = 2dx$, suy ra $dx = \frac{1}{2} du$. Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu. $\int e^{2x-1} dx = \int e^u \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du$. Bước 4: Tính nguyên hàm của hàm số mới. $\frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C$. Bước 5: Quay lại biến số ban đầu. Thay $u = 2x - 1$ vào, ta có: $\frac{1}{2} e^u + C = \frac{1}{2} e^{2x-1} + C$. Vậy nguyên hàm của hàm số $y = e^{2x-1}$ là $\frac{1}{2} e^{2x-1} + C$. Đáp án đúng là: $C.~\frac{1}{2} e^{2x-1} + C$. Câu 34. Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ lần lượt tìm họ nguyên hàm của các hàm số đã cho. Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{2x+3}$ Ta cần tìm nguyên hàm của $\frac{1}{2x+3}$. Áp dụng công thức nguyên hàm của dạng $\frac{1}{ax+b}$: \[ \int \frac{1}{2x+3} \, dx = \frac{1}{2} \ln |2x+3| + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\frac{1}{2} \ln |2x+3| + C \] Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = x^2 - 3^x + \frac{1}{x}$ Ta cần tìm nguyên hàm của mỗi thành phần trong biểu thức $y = x^2 - 3^x + \frac{1}{x}$. 1. Nguyên hàm của $x^2$: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] 2. Nguyên hàm của $-3^x$: \[ \int -3^x \, dx = -\frac{3^x}{\ln 3} + C_2 \] 3. Nguyên hàm của $\frac{1}{x}$: \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_3 \] Gộp lại, ta có: \[ \int (x^2 - 3^x + \frac{1}{x}) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3^x}{\ln 3} + \ln |x| + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\frac{x^3}{3} - \frac{3^x}{\ln 3} + \ln |x| + C,~C \in \mathbb{R} \] Tóm lại, các đáp án đúng là: 1. B.~$\frac{1}{2} \ln |2x+3| + C$ 2. C.~$\frac{x^3}{3} - \frac{3^x}{\ln 3} + \ln |x| + C,~C \in \mathbb{R}$ Câu 36. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin 3x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định nguyên hàm cơ bản: Ta biết rằng nguyên hàm của \( \sin u \) là \( -\cos u + C \). 2. Áp dụng công thức nguyên hàm với biến đổi đại số: Trong trường hợp này, \( u = 3x \). Do đó, ta cần nhân thêm một hằng số để bù lại đạo hàm của \( u \): \[ \int \sin 3x \, dx = \int \sin u \cdot \frac{du}{3} = -\frac{1}{3} \cos u + C = -\frac{1}{3} \cos 3x + C \] 3. Kết luận: Họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \sin 3x \) là: \[ F(x) = -\frac{1}{3} \cos 3x + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~-\frac{1}{3}\cos3x+C. \] Câu 37. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + \sin x \), chúng ta sẽ tính riêng từng phần của hàm số này. 1. Tìm nguyên hàm của \( 3x^2 \): \[ \int 3x^2 \, dx = 3 \int x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \] 2. Tìm nguyên hàm của \( \sin x \): \[ \int \sin x \, dx = -\cos x \] Kết hợp hai kết quả trên, ta có: \[ \int (3x^2 + \sin x) \, dx = x^3 - \cos x + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x^2 + \sin x \) là: \[ x^3 - \cos x + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~x^3 - \cos x + C \] Câu 38. Ta sẽ kiểm tra từng công thức tích phân để xác định công thức sai. A. $\int \ln x \, dx = \frac{1}{x} + C$ - Ta biết rằng đạo hàm của $\ln x$ là $\frac{1}{x}$, nhưng tích phân của $\ln x$ không phải là $\frac{1}{x}$. Tích phân đúng của $\ln x$ là $x \ln x - x + C$. Do đó, công thức này sai. B. $\int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \tan x + C$ - Ta biết rằng đạo hàm của $\tan x$ là $\frac{1}{\cos^2 x}$. Do đó, tích phân của $\frac{1}{\cos^2 x}$ đúng là $\tan x + C$. Công thức này đúng. C. $\int \sin x \, dx = -\cos x + C$ - Ta biết rằng đạo hàm của $-\cos x$ là $\sin x$. Do đó, tích phân của $\sin x$ đúng là $-\cos x + C$. Công thức này đúng. D. $\int e^x \, dx = e^x + C$ - Ta biết rằng đạo hàm của $e^x$ là $e^x$. Do đó, tích phân của $e^x$ đúng là $e^x + C$. Công thức này đúng. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng công thức sai là: Đáp án: A. $\int \ln x \, dx = \frac{1}{x} + C$ Câu 39. Để tìm hàm số \( f(x) \), ta cần tính đạo hàm của nguyên hàm đã cho. Ta có: \[ \int f(x) \, dx = 4x^3 + x^2 + C \] Áp dụng công thức đạo hàm của một nguyên hàm, ta có: \[ f(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 + x^2 + C) \] Tính đạo hàm từng hạng tử: \[ \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2 \] \[ \frac{d}{dx}(x^2) = 2x \] \[ \frac{d}{dx}(C) = 0 \] Vậy: \[ f(x) = 12x^2 + 2x \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~f(x) = 12x^2 + 2x \] Câu 40. Để xác định khẳng định nào sai trong các khẳng định đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. Khẳng định A: \[ \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C \] Ta biết rằng: \[ \int \cos u \, du = \sin u + C \] Trong trường hợp này, \( u = 2x \) và \( du = 2 \, dx \). Do đó: \[ \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \int \cos 2x \cdot 2 \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x + C \] Vậy khẳng định A là đúng. Khẳng định B: \[ \int x^0 \, dx = \frac{x^{e+1}}{e+1} + C \] Ta biết rằng: \[ x^0 = 1 \] Do đó: \[ \int x^0 \, dx = \int 1 \, dx = x + C \] Vậy khẳng định B là sai vì \( \int x^0 \, dx = x + C \), không phải \( \frac{x^{e+1}}{e+1} + C \). Kết luận: Khẳng định sai là B.