Câu 131. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a và BC = a. Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, cạnh SA = 2a. Gọi M là trung điểm SC. Tính khoảng cách giữa đường thẳng SB...

Câu 131. Để tính khoảng cách giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ADM), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định hệ tọa độ và các điểm: - Chọn gốc tọa độ tại A, trục Ox dọc theo AB, trục Oy dọc theo AD, trục Oz dọc theo SA. - Các điểm có tọa độ: - A(0, 0, 0) - B(2a, 0, 0) - C(2a, a, 0) - D(0, a, 0) - S(0, 0, 2a) 2. Tìm tọa độ của M: - M là trung điểm của SC, nên tọa độ của M là: \[ M\left(\frac{2a + 0}{2}, \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + 2a}{2}\right) = M(a, \frac{a}{2}, a) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ADM): - Vectơ AD = (0, a, 0) - Vectơ AM = (a, $\frac{a}{2}$, a) - Vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng (ADM) là tích vector của AD và AM: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & a & 0 \\ a & \frac{a}{2} & a \end{vmatrix} = (a^2, -a^2, -a^2) \] - Ta có thể chọn vectơ pháp tuyến đơn giản hơn là $\vec{n} = (1, -1, -1)$ 4. Tìm khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ADM): - Phương trình mặt phẳng (ADM) là: \[ 1(x - 0) - 1(y - 0) - 1(z - 0) = 0 \Rightarrow x - y - z = 0 \] - Khoảng cách từ điểm S(0, 0, 2a) đến mặt phẳng này là: \[ d = \frac{|0 - 0 - 2a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}} \] 5. Tính khoảng cách giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ADM): - Đường thẳng SB có vectơ chỉ phương là $\vec{SB} = (2a, 0, -2a)$ - Khoảng cách giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ADM) là khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ADM) trừ đi phần giao của SB với mặt phẳng (ADM). Do đó, khoảng cách giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ADM) là: \[ d = \frac{2a}{\sqrt{3}} \] Đáp số: $\frac{2a}{\sqrt{3}}$