Giải hộ mình câu này với các bạn Bài 6. (2,0 điểm).,Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn.,Từ A kẻ các tiếp tuyến AB,AC với đường tròn (O) (B,C là các tiếp điểm). Kẻ đường kính BD của,đường tròn (O),a) Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn và $\widehat{BDC}=\widehat{AOC}.$,b) Kẻ CK vuông góc với BD tại K. Gọi I là giao điểm của AD và CK . Chứng minh rằng I là trung,điểm của CK .,----- HẾT -----

Question

Thiên Hạo (天昊) · Accepted Answer

a) Ta có: AB, AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B, C.

=> $OB ⊥ AB$ và $OC ⊥ AC$.

=> $\widehat{OBA} = \widehat{OCA} = 90^{\circ}$.

Tứ giác $ABOC$ có $\widehat{OBA} + \widehat{OCA} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.

Mà $\widehat{OBA}$ và $\widehat{OCA}$ là hai góc đối nhau.

=> Tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn.

Ta có: BD là đường kính của (O) => $\widehat{BCD} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét $ riangle BCD$ vuông tại C:

$\widehat{BDC} + \widehat{CBD} = 90^{\circ}$. (1)

Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của (O) nên OA là phân giác của $\widehat{BOC}$.

=> $\widehat{BOA} = \widehat{COA} = \frac{1}{2} \widehat{BOC}$.

Xét $ riangle OBC$ cân tại O (OB = OC = R):

$\widehat{OBC} = \widehat{OCB}$.

Mà $\widehat{OBC} + \widehat{OCB} + \widehat{BOC} = 180^{\circ}$.

=> $2\widehat{OBC} + 2\widehat{BOA} = 180^{\circ}$

=> $\widehat{OBC} + \widehat{BOA} = 90^{\circ}$

=> $\widehat{CBD} + \widehat{AOC} = 90^{\circ}$ (2)

Từ (1) và (2), ta có:

$\widehat{BDC} + \widehat{CBD} = \widehat{CBD} + \widehat{AOC}$

=> $\widehat{BDC} = \widehat{AOC}$.

b) Ta có $CK ⊥ BD$ tại K.

Xét tứ giác BOCK có $\widehat{OBC} + \widehat{OCK} = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$.

Mà $\widehat{OBC}$ và $\widehat{OCK}$ là hai góc đối nhau.

=> Tứ giác BOCK nội tiếp đường tròn.

=> $\widehat{BCO} = \widehat{BKO}$ (cùng chắn cung BO).

Mà $\widehat{BCO} = \widehat{OAC}$ (cùng phụ với $\widehat{AOB}$).

=> $\widehat{BKO} = \widehat{OAC}$.

Xét $ riangle BDK$ và $ riangle OAC$, ta có:

$\widehat{BKD} = \widehat{OCA} = 90^{\circ}$

$\widehat{BKO} = \widehat{OAC}$

=> $ riangle BDK \sim riangle OAC$ (g.g)

=> $\frac{BK}{OC} = \frac{DK}{AC}$ => $BK \cdot AC = DK \cdot OC$.

Vì I là giao điểm của AD và CK, ta có $\widehat{CKD} = 90^{\circ}$.

Xét $ riangle CKD$ vuông tại K, ta có:

I là trung điểm của CK khi và chỉ khi $KI = IC$

Mà $CK ⊥ BD$

Xét $ riangle CAD$ và $ riangle CKB$, ta có:

$\widehat{C}$ chung.

$\widehat{CAD} = \widehat{CKB} = 90^{\circ}$

=> $ riangle CAD \sim riangle CKB$ (g.g)

=> $\frac{CK}{CA} = \frac{CB}{CD}$

Mà CA = CB => $CK \cdot CD = CA^2$

Gọi M là trung điểm của CK.

=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp $ riangle CKD$.

Ta có IM là đường trung bình của $ riangle CKD$ => $IM // KD => IM ⊥ CK$

Vậy I là trung điểm của CK.

Timi · Answer

Bài 6.
a) Ta có $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính)
Do đó, ABOC là tứ giác nội tiếp đường tròn (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°).
$\widehat{BDC}=\widehat{AOC}$ (cùng chắn cung BC)

b) Ta có $\widehat{BDC}=\widehat{AOC}$ (chắn cung BC)
Mà $\widehat{AOC}=\widehat{AKC}$ (góc nội tiếp và góc tâm cùng chắn cung AC)
Do đó, $\widehat{BDC}=\widehat{AKC}$
Ta cũng có $\widehat{CKD}=\widehat{AKD}=90^\circ$ (vì CK vuông góc với BD)
Do đó, $	riangle CKD$ và $	riangle AKD$ là hai tam giác vuông có góc nhọn bằng nhau, suy ra chúng đồng dạng.
Từ đó ta có $\frac{CK}{AK}=\frac{DK}{KD}$
Mà DK = KD (chung), suy ra CK = AK
Vậy I là trung điểm của CK.