giúp tôi chọn đáp án đúng với

Câu 61. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2} \). Bước 1: Rút gọn biểu thức hàm số: \[ f(x) = \frac{2x^2 + 3}{x^2} = 2 + \frac{3}{x^2} \] Bước 2: Tính nguyên hàm của mỗi thành phần riêng lẻ: - Nguyên hàm của \( 2 \): \[ \int 2 \, dx = 2x + C_1 \] - Nguyên hàm của \( \frac{3}{x^2} \): \[ \int \frac{3}{x^2} \, dx = 3 \int x^{-2} \, dx = 3 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C_2 = -\frac{3}{x} + C_2 \] Bước 3: Kết hợp các nguyên hàm lại: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( 2 + \frac{3}{x^2} \right) \, dx = 2x - \frac{3}{x} + C \] Do đó, khẳng định đúng là: \[ B.~\int f(x) \, dx = 2x - \frac{3}{x} + C \] Đáp án: B. Câu 62. Để tìm $\int f(x)dx$, ta thực hiện phép tích phân từng thành phần của hàm số $f(x)$. Hàm số đã cho là: \[ f(x) = 2^x + x + 1 \] Ta sẽ tính tích phân từng thành phần: 1. Tích phân của $2^x$: \[ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C_1 \] 2. Tích phân của $x$: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_2 \] 3. Tích phân của hằng số 1: \[ \int 1 \, dx = x + C_3 \] Gộp lại ta có: \[ \int f(x) \, dx = \int (2^x + x + 1) \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + \frac{x^2}{2} + x + C \] Trong đó, $C$ là hằng số tích phân tổng hợp từ $C_1$, $C_2$, và $C_3$. Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\int f(x)dx = \frac{1}{\ln 2}2^x + \frac{1}{2}x^2 + x + C \] Câu 63. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x - \sin x \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm từng phần của hàm số: - Nguyên hàm của \( 3x \): \[ \int 3x \, dx = 3 \int x \, dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} + C_1 = \frac{3x^2}{2} + C_1 \] - Nguyên hàm của \( -\sin x \): \[ \int -\sin x \, dx = -\int \sin x \, dx = -(-\cos x) + C_2 = \cos x + C_2 \] 2. Gộp các kết quả lại: \[ \int f(x) \, dx = \int (3x - \sin x) \, dx = \frac{3x^2}{2} + \cos x + C \] Trong đó, \( C \) là hằng số tích phân tổng quát, bao gồm cả \( C_1 \) và \( C_2 \). Vậy, họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3x - \sin x \) là: \[ \int f(x) \, dx = \frac{3x^2}{2} + \cos x + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\int f(x) \, dx = \frac{3x^2}{2} + \cos x + C \] Câu 64. Để xác định hàm số \( F(x) = e^{x^2} \) là nguyên hàm của hàm số nào, chúng ta cần tìm đạo hàm của \( F(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(e^{x^2}) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm số mũ: \[ F'(x) = e^{x^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^2) \] \[ F'(x) = e^{x^2} \cdot 2x \] \[ F'(x) = 2x e^{x^2} \] Bước 2: So sánh kết quả với các đáp án đã cho: - Đáp án A: \( f(x) = 2x e^{x^2} \) - Đáp án B: \( f(x) = x^2 e^{x^2} - 1 \) - Đáp án C: \( f(x) = e^{2x} \) - Đáp án D: \( f(x) = \frac{e^{x^2}}{2x} \) Nhận thấy rằng đạo hàm của \( F(x) \) chính là \( 2x e^{x^2} \), do đó hàm số \( F(x) = e^{x^2} \) là nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 2x e^{x^2} \). Kết luận: Đáp án đúng là \( A.~f(x) = 2x e^{x^2} \). Câu 65. Để tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3^{-x} \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số mũ. Bước 1: Xác định dạng của hàm số. Hàm số \( f(x) = 3^{-x} \) có dạng \( a^u \) với \( a = 3 \) và \( u = -x \). Bước 2: Tìm nguyên hàm của hàm số \( 3^{-x} \). Nguyên hàm của \( a^u \) là \( \frac{a^u}{\ln(a)} + C \). Ở đây, \( a = 3 \) và \( u = -x \). Do đó, nguyên hàm của \( 3^{-x} \) là: \[ \int 3^{-x} \, dx = \frac{3^{-x}}{\ln(3)} + C \] Bước 3: Kết luận. Tất cả các nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 3^{-x} \) là: \[ \frac{3^{-x}}{\ln(3)} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\frac{3^{-x}}{\ln3}+C \] Câu 66. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x^2 \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của mỗi hạng tử trong tổng. 1. Tính nguyên hàm của \( x^3 \): \[ \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} + C_1 \] 2. Tính nguyên hàm của \( x^2 \): \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_2 \] 3. Cộng lại để tìm nguyên hàm của tổng: \[ \int (x^3 + x^2) \, dx = \int x^3 \, dx + \int x^2 \, dx = \frac{x^4}{4} + C_1 + \frac{x^3}{3} + C_2 \] 4. Gộp hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) thành một hằng số \( C \): \[ \int (x^3 + x^2) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C \] Vậy họ nguyên hàm của hàm số \( f(x) = x^3 + x^2 \) là: \[ A.~\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C \] Đáp án đúng là: \( A.~\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C \). Câu 67. Để xác định hàm số nào không là nguyên hàm của hàm số \( y = x^{2019} \), ta cần kiểm tra đạo hàm của mỗi hàm số đã cho xem có bằng \( x^{2019} \) hay không. A. \( \frac{x^{2020}}{2020} + 1 \) Ta tính đạo hàm của \( \frac{x^{2020}}{2020} + 1 \): \[ \left( \frac{x^{2020}}{2020} + 1 \right)' = \frac{2020x^{2019}}{2020} + 0 = x^{2019}. \] B. \( \frac{x^{2020}}{2020} \) Ta tính đạo hàm của \( \frac{x^{2020}}{2020} \): \[ \left( \frac{x^{2020}}{2020} \right)' = \frac{2020x^{2019}}{2020} = x^{2019}. \] C. \( y = 2019x^{2018} \) Ta tính đạo hàm của \( 2019x^{2018} \): \[ (2019x^{2018})' = 2019 \cdot 2018x^{2017} = 2019 \cdot 2018x^{2017}. \] Đạo hàm này không bằng \( x^{2019} \). D. \( \frac{x^{2020}}{2020} - 1 \) Ta tính đạo hàm của \( \frac{x^{2020}}{2020} - 1 \): \[ \left( \frac{x^{2020}}{2020} - 1 \right)' = \frac{2020x^{2019}}{2020} - 0 = x^{2019}. \] Như vậy, chỉ có hàm số \( C.~y = 2019x^{2018} \) không là nguyên hàm của hàm số \( y = x^{2019} \). Đáp án đúng là: \( C.~y = 2019x^{2018} \). Câu 68. Để tìm họ nguyên hàm của hàm số $y = x^2 - 3^x + \frac{1}{x}$, ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. 1. Tính nguyên hàm của $x^2$: \[ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} + C_1 \] 2. Tính nguyên hàm của $-3^x$: \[ \int -3^x \, dx = -\frac{3^x}{\ln 3} + C_2 \] 3. Tính nguyên hàm của $\frac{1}{x}$: \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C_3 \] Gộp lại, ta có: \[ \int \left( x^2 - 3^x + \frac{1}{x} \right) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3^x}{\ln 3} + \ln |x| + C \] Trong đó, $C = C_1 + C_2 + C_3$ là hằng số tích phân. Vậy họ nguyên hàm của hàm số $y = x^2 - 3^x + \frac{1}{x}$ là: \[ \frac{x^3}{3} - \frac{3^x}{\ln 3} + \ln |x| + C, \quad C \in \mathbb{R} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~\frac{x^3}{3} - \frac{3^x}{\ln 3} + \ln |x| + C, \quad C \in \mathbb{R} \] Câu 69. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = e^x \left( 2017 - \frac{2018e^{-x}}{x^5} \right) \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân \( e^x \) vào trong ngoặc: \[ f(x) = 2017e^x - \frac{2018e^{-x}e^x}{x^5} \] Bước 2: Đơn giản hóa biểu thức: \[ f(x) = 2017e^x - \frac{2018}{x^5} \] Bước 3: Tính nguyên hàm từng phần: \[ \int f(x) \, dx = \int \left( 2017e^x - \frac{2018}{x^5} \right) \, dx \] Bước 4: Tính nguyên hàm từng thành phần: \[ \int 2017e^x \, dx = 2017 \int e^x \, dx = 2017e^x + C_1 \] \[ \int \frac{2018}{x^5} \, dx = 2018 \int x^{-5} \, dx = 2018 \cdot \frac{x^{-4}}{-4} + C_2 = -\frac{2018}{4x^4} + C_2 = -\frac{504,5}{x^4} + C_2 \] Bước 5: Kết hợp các kết quả lại: \[ \int f(x) \, dx = 2017e^x - \frac{504,5}{x^4} + C \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~\int f(x) \, dx = 2017e^x - \frac{504,5}{x^4} + C \]