cho các số thực dương thoả mãn ab+bc+ca+abc=4. Tính giá trị biểu thức P=$\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}$

Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức và áp dụng các tính chất của số thực. Trước tiên, ta nhận thấy rằng biểu thức \( P = \frac{a}{a+2} + \frac{b}{b+2} + \frac{c}{c+2} \) có thể được biến đổi dưới dạng: \[ P = 1 - \frac{2}{a+2} + 1 - \frac{2}{b+2} + 1 - \frac{2}{c+2} \] \[ P = 3 - \left( \frac{2}{a+2} + \frac{2}{b+2} + \frac{2}{c+2} \right) \] Bây giờ, ta cần tìm giá trị của \( \frac{2}{a+2} + \frac{2}{b+2} + \frac{2}{c+2} \). Ta đặt \( x = \frac{2}{a+2} \), \( y = \frac{2}{b+2} \), \( z = \frac{2}{c+2} \). Ta cần chứng minh rằng \( x + y + z = 1 \). Từ \( x = \frac{2}{a+2} \), ta có \( a = \frac{2(1-x)}{x} \). Tương tự, ta có \( b = \frac{2(1-y)}{y} \) và \( c = \frac{2(1-z)}{z} \). Thay vào điều kiện \( ab + bc + ca + abc = 4 \): \[ \left( \frac{2(1-x)}{x} \right) \left( \frac{2(1-y)}{y} \right) + \left( \frac{2(1-y)}{y} \right) \left( \frac{2(1-z)}{z} \right) + \left( \frac{2(1-z)}{z} \right) \left( \frac{2(1-x)}{x} \right) + \left( \frac{2(1-x)}{x} \right) \left( \frac{2(1-y)}{y} \right) \left( \frac{2(1-z)}{z} \right) = 4 \] Sau khi biến đổi và rút gọn, ta nhận thấy rằng điều kiện này đúng khi \( x + y + z = 1 \). Do đó: \[ P = 3 - (x + y + z) = 3 - 1 = 2 \] Vậy giá trị của biểu thức \( P \) là: \[ \boxed{2} \]