Giải cho bài toán này với ạ

Câu 65. a) Ta có thể thấy rằng khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC) chính là chiều cao hạ từ đỉnh A' của tam giác A'BC. Trước hết, ta tính diện tích của tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times a\sqrt{3} \times a = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \] Diện tích của tam giác A'BC cũng bằng diện tích của tam giác ABC vì chúng có cùng đáy BC và chiều cao hạ từ A và A' đều bằng a: \[ S_{A'BC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \] Chiều cao hạ từ đỉnh A' của tam giác A'BC là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC). Ta gọi khoảng cách này là h. Diện tích tam giác A'BC cũng có thể được tính qua đáy BC và chiều cao hạ từ A': \[ S_{A'BC} = \frac{1}{2} \times BC \times h \] Ta biết rằng: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] Do đó: \[ \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 2a \times h \] \[ \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = a \times h \] \[ h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A'BC) là $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. b) Thể tích của lăng trụ đứng ABC.A'B'C' được tính bằng diện tích đáy nhân với chiều cao của lăng trụ: \[ V = S_{ABC} \times AA' \] Ta đã tính diện tích đáy ABC ở trên: \[ S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \] Chiều cao của lăng trụ là AA', và ta biết rằng AA' = a. Do đó: \[ V = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \times a = \frac{a^3\sqrt{3}}{2} \] Vậy thể tích của lăng trụ đứng ABC.A'B'C' là $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$. Câu 66. Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P) tại các điểm đã cho, ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tại điểm có hoành độ \( x_2 = -1 \) 1. Tìm tọa độ điểm trên parabol: Thay \( x = -1 \) vào phương trình \( y = x^2 \): \[ y = (-1)^2 = 1 \] Vậy điểm trên parabol có tọa độ là \( (-1, 1) \). 2. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^2 \): Đạo hàm của \( y = x^2 \) là: \[ y' = 2x \] 3. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( (-1, 1) \): Thay \( x = -1 \) vào đạo hàm: \[ y'(-1) = 2(-1) = -2 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \( (-1, 1) \) là \( -2 \). b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng \( y = -3x + 2 \) 1. Tìm tọa độ giao điểm của parabol và đường thẳng: Thay \( y = x^2 \) vào phương trình đường thẳng \( y = -3x + 2 \): \[ x^2 = -3x + 2 \] Đặt phương trình bậc hai: \[ x^2 + 3x - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 1 \), \( b = 3 \), \( c = -2 \): \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} \] Vậy hai nghiệm là: \[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \] 2. Tìm tọa độ giao điểm: Thay \( x_1 \) và \( x_2 \) vào phương trình \( y = x^2 \): \[ y_1 = \left( \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \right)^2, \quad y_2 = \left( \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \right)^2 \] 3. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^2 \): Đạo hàm của \( y = x^2 \) là: \[ y' = 2x \] 4. Tính hệ số góc của tiếp tuyến tại các giao điểm: - Tại điểm \( \left( \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, \left( \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \right)^2 \right) \): \[ y'\left( \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \right) = 2 \left( \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} \right) = -3 + \sqrt{17} \] - Tại điểm \( \left( \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}, \left( \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \right)^2 \right) \): \[ y'\left( \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \right) = 2 \left( \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} \right) = -3 - \sqrt{17} \] Kết luận: - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \( x_2 = -1 \) là \( -2 \). - Hệ số góc của tiếp tuyến tại các giao điểm của (P) với đường thẳng \( y = -3x + 2 \) là \( -3 + \sqrt{17} \) và \( -3 - \sqrt{17} \). Câu 67, Xác suất để hai bạn dừng chơi sau hai ván cờ tức là xác suất để hai ván cờ đều không có kết quả (không có người thắng, người thua). Xác suất để một ván cờ không có kết quả là: \[ 1 - (0,4 + 0,35) = 1 - 0,75 = 0,25 \] Vậy xác suất để hai ván cờ đều không có kết quả là: \[ 0,25 \times 0,25 = 0,0625 \] Đáp số: 0,0625 Câu 68. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính xác suất của các biến cố A và B Biến cố A: "Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ là 6" - Mỗi hộp có 3 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 3. - Tổng các số trên ba tấm thẻ là 6 có thể xảy ra trong các trường hợp sau: - (1, 2, 3) - (1, 3, 2) - (2, 1, 3) - (2, 3, 1) - (3, 1, 2) - (3, 2, 1) Số trường hợp thuận lợi là 6. Tổng số trường hợp có thể xảy ra khi rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ mỗi hộp là: \[ 3 \times 3 \times 3 = 27 \] Vậy xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{6}{27} = \frac{2}{9} \] Biến cố B: "Ba tấm thẻ có ghi số bằng nhau" - Các trường hợp thuận lợi là: - (1, 1, 1) - (2, 2, 2) - (3, 3, 3) Số trường hợp thuận lợi là 3. Vậy xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{3}{27} = \frac{1}{9} \] b) Kiểm tra tính độc lập của biến cố A và B Hai biến cố A và B được coi là độc lập nếu: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] Biến cố \(A \cap B\): "Tổng các số ghi trên ba tấm thẻ là 6 và ba tấm thẻ có ghi số bằng nhau" - Chỉ có trường hợp (2, 2, 2) thỏa mãn cả hai điều kiện. Số trường hợp thuận lợi là 1. Vậy xác suất của biến cố \(A \cap B\) là: \[ P(A \cap B) = \frac{1}{27} \] Bây giờ, ta kiểm tra: \[ P(A) \times P(B) = \frac{2}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{81} \] Ta thấy rằng: \[ \frac{1}{27} \neq \frac{2}{81} \] Vậy \(P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)\), do đó biến cố A và B không độc lập. Đáp số: \[ P(A) = \frac{2}{9}, \quad P(B) = \frac{1}{9} \] Biến cố A và B không độc lập. Câu 69. Diện tích toàn phần của thiết bị kim loại bao gồm diện tích toàn phần của khối lăng trụ tứ giác đều và diện tích toàn phần của khối chóp tứ giác đều. Bước 1: Tính diện tích toàn phần của khối lăng trụ tứ giác đều - Diện tích đáy của khối lăng trụ tứ giác đều: \[ S_{đáy} = a^2 = 4^2 = 16 \text{ cm}^2 \] - Diện tích xung quanh của khối lăng trụ tứ giác đều: \[ S_{xq} = 4 \times a \times h = 4 \times 4 \times 6 = 96 \text{ cm}^2 \] - Diện tích toàn phần của khối lăng trụ tứ giác đều: \[ S_{tp\_lăng\_trụ} = 2 \times S_{đáy} + S_{xq} = 2 \times 16 + 96 = 128 \text{ cm}^2 \] Bước 2: Tính diện tích toàn phần của khối chóp tứ giác đều - Diện tích đáy của khối chóp tứ giác đều: \[ S_{đáy\_chóp} = a^2 = 4^2 = 16 \text{ cm}^2 \] - Diện tích một mặt bên của khối chóp tứ giác đều: \[ S_{mb} = \frac{1}{2} \times a \times l = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10 \text{ cm}^2 \] - Diện tích xung quanh của khối chóp tứ giác đều: \[ S_{xq\_chóp} = 4 \times S_{mb} = 4 \times 10 = 40 \text{ cm}^2 \] - Diện tích toàn phần của khối chóp tứ giác đều: \[ S_{tp\_chóp} = S_{đáy\_chóp} + S_{xq\_chóp} = 16 + 40 = 56 \text{ cm}^2 \] Bước 3: Tính tổng diện tích toàn phần của thiết bị kim loại \[ S_{tp\_thiết\_biệt} = S_{tp\_lăng\_trụ} + S_{tp\_chóp} = 128 + 56 = 184 \text{ cm}^2 \] Bước 4: Tính số tiền mua kim loại Giá tiền mua kim loại là 2500 đồng/cm². Số tiền mua kim loại dùng để làm thiết bị: \[ Tiền = S_{tp\_thiết\_biệt} \times Giá = 184 \times 2500 = 460000 \text{ đồng} \] Đổi ra nghìn đồng: \[ Tiền = \frac{460000}{1000} = 460 \text{ nghìn đồng} \] Đáp số: 460 nghìn đồng Câu 70. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông tin đã biết: - Tam giác ABC là tam giác vuông tại A. - AC = $\sqrt{3}$. - Góc ABC = 30°. 2. Xác định các thông tin cần tìm: - Chúng ta cần tìm độ dài cạnh AB và BC. 3. Áp dụng công thức trong tam giác vuông: - Trong tam giác vuông ABC, góc ABC = 30°, nên góc ACB = 60° (vì tổng các góc trong tam giác là 180°). 4. Sử dụng tính chất của tam giác vuông có một góc 30°: - Trong tam giác vuông có một góc 30°, cạnh đối diện với góc 30° bằng nửa cạnh huyền. - Vậy AB = $\frac{1}{2} BC$. 5. Áp dụng định lý Pythagoras: - Ta có: $BC^2 = AB^2 + AC^2$. - Thay AC = $\sqrt{3}$ vào, ta có: $BC^2 = AB^2 + (\sqrt{3})^2$. - Vì AB = $\frac{1}{2} BC$, thay vào ta có: $BC^2 = \left(\frac{1}{2} BC\right)^2 + 3$. - Điều này dẫn đến: $BC^2 = \frac{1}{4} BC^2 + 3$. - Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ phân số: $4BC^2 = BC^2 + 12$. - Chuyển $BC^2$ sang vế trái: $3BC^2 = 12$. - Chia cả hai vế cho 3: $BC^2 = 4$. - Lấy căn bậc hai của cả hai vế: $BC = 2$. 6. Tìm độ dài cạnh AB: - Vì AB = $\frac{1}{2} BC$, nên AB = $\frac{1}{2} \times 2 = 1$. Vậy, độ dài cạnh AB là 1 và độ dài cạnh BC là 2.