Giải câu sau

Để giải phương trình $\log_2(x+5) - \log_{\frac{1}{2}}(x-7) = 4$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Phương trình có chứa các biểu thức logarit, do đó ta cần xác định điều kiện để các biểu thức này có nghĩa: - $x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5$ - $x - 7 > 0 \Rightarrow x > 7$ Từ hai điều kiện trên, ta có điều kiện chung là $x > 7$. Bước 2: Chuyển đổi biểu thức logarit Ta biết rằng $\log_{\frac{1}{2}}(x-7)$ có thể viết lại dưới dạng $\log_2((x-7)^{-1})$. Do đó, phương trình trở thành: \[ \log_2(x+5) - \log_2((x-7)^{-1}) = 4 \] Áp dụng tính chất của logarit $\log_b(a) - \log_b(c) = \log_b\left(\frac{a}{c}\right)$, ta có: \[ \log_2\left(\frac{x+5}{(x-7)^{-1}}\right) = 4 \] \[ \log_2\left((x+5)(x-7)\right) = 4 \] Bước 3: Giải phương trình logarit Phương trình $\log_2\left((x+5)(x-7)\right) = 4$ tương đương với: \[ (x+5)(x-7) = 2^4 \] \[ (x+5)(x-7) = 16 \] Bước 4: Giải phương trình bậc hai Phương trình $(x+5)(x-7) = 16$ có thể viết lại thành: \[ x^2 - 7x + 5x - 35 = 16 \] \[ x^2 - 2x - 51 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó, $a = 1$, $b = -2$, $c = -51$: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-51)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 204}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{208}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 4\sqrt{13}}{2} \] \[ x = 1 \pm 2\sqrt{13} \] Bước 5: Kiểm tra điều kiện xác định Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 1 + 2\sqrt{13} \] \[ x_2 = 1 - 2\sqrt{13} \] Kiểm tra điều kiện $x > 7$: - $1 + 2\sqrt{13} > 7$ (vì $2\sqrt{13} > 6$) - $1 - 2\sqrt{13} < 7$ (vì $2\sqrt{13} > 6$) Do đó, chỉ có nghiệm $x = 1 + 2\sqrt{13}$ thỏa mãn điều kiện. Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x = 1 + 2\sqrt{13}$.