phần 3 phần 4

Câu 1. Xác suất của biến cố \(A \cap B\) được tính bằng cách nhân xác suất của biến cố \(A\) với xác suất của biến cố \(B\), vì hai biến cố này là độc lập. Xác suất của biến cố \(A\) là \(P(A) = 0,5\). Xác suất của biến cố \(B\) là \(P(B) = 0,7\). Vậy xác suất của biến cố \(A \cap B\) là: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,5 \times 0,7 = 0,35 \] Đáp số: \(P(A \cap B) = 0,35\). Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức về dân số sau n năm: \( T = A \cdot (1 + r)^n \). Trong đó: - \( T \) là dân số sau n năm. - \( A \) là dân số ban đầu. - \( r \) là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. - \( n \) là số năm. Cụ thể: - Dân số ban đầu \( A = 91,7 \) triệu người. - Tỉ lệ tăng dân số hàng năm \( r = 1,1\% = 0,011 \). - Dân số mục tiêu \( T = 125,6 \) triệu người. Chúng ta cần tìm số năm \( n \) để dân số đạt 125,6 triệu người. Bước 1: Thay các giá trị vào công thức: \[ 125,6 = 91,7 \cdot (1 + 0,011)^n \] Bước 2: Chia cả hai vế cho 91,7 để đơn giản hóa: \[ \frac{125,6}{91,7} = (1 + 0,011)^n \] \[ 1,3703 = (1,011)^n \] Bước 3: Lấy logarit của cả hai vế để giải phương trình mũ: \[ \log(1,3703) = \log((1,011)^n) \] \[ \log(1,3703) = n \cdot \log(1,011) \] Bước 4: Tính giá trị của các logarit: \[ \log(1,3703) \approx 0,1367 \] \[ \log(1,011) \approx 0,0047 \] Bước 5: Giải phương trình để tìm \( n \): \[ 0,1367 = n \cdot 0,0047 \] \[ n = \frac{0,1367}{0,0047} \] \[ n \approx 29,085 \] Bước 6: Làm tròn đến hàng đơn vị: \[ n \approx 29 \] Vậy sau khoảng 29 năm, dân số Việt Nam sẽ đạt mức 125,6 triệu người. Câu 3. Để tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \( t_0 = \frac{\pi}{3} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của phương trình chuyển động: Phương trình chuyển động của chất điểm là \( s(t) = 4 \sin t \). Ta tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = 4 \cos t \] 2. Thay thời điểm \( t_0 = \frac{\pi}{3} \) vào đạo hàm: Vận tốc tức thời tại thời điểm \( t_0 = \frac{\pi}{3} \) là: \[ v\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \] 3. Tính giá trị của \( \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) \): Biết rằng \( \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \), ta có: \[ v\left(\frac{\pi}{3}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \] Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm \( t_0 = \frac{\pi}{3} \) là 2 cm/s. Câu 4. Để tính góc giữa đường thẳng SB với mặt đáy ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm độ dài đoạn thẳng OB: Vì O là tâm của hình vuông ABCD, nên OB là bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Độ dài OB được tính như sau: \[ OB = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = a \] 2. Tìm độ dài đoạn thẳng SB: Ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác SOB vuông tại O: \[ SB = \sqrt{SO^2 + OB^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a \] 3. Tính góc giữa đường thẳng SB với mặt đáy ABCD: Gọi góc giữa đường thẳng SB với mặt đáy ABCD là $\alpha$. Ta có: \[ \sin(\alpha) = \frac{SO}{SB} = \frac{a\sqrt{3}}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Từ đó suy ra: \[ \alpha = 60^\circ \] Vậy góc giữa đường thẳng SB với mặt đáy ABCD là $60^\circ$. Câu 1. a. Tìm $f'(x)$ Để tìm đạo hàm của hàm số $f(x) = -x^3 + 2x^2 + 5$, ta áp dụng công thức đạo hàm của các hàm đa thức. $f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3) + \frac{d}{dx}(2x^2) + \frac{d}{dx}(5)$ Ta tính đạo hàm từng hạng tử: - $\frac{d}{dx}(-x^3) = -3x^2$ - $\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x$ - $\frac{d}{dx}(5) = 0$ Vậy: $f'(x) = -3x^2 + 4x$ b. Tính $f''(x)$ tại điểm $x_0 = -2$ Để tìm đạo hàm thứ hai của hàm số $f(x)$, ta lấy đạo hàm của $f'(x)$. $f'(x) = -3x^2 + 4x$ $f''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2) + \frac{d}{dx}(4x)$ Ta tính đạo hàm từng hạng tử: - $\frac{d}{dx}(-3x^2) = -6x$ - $\frac{d}{dx}(4x) = 4$ Vậy: $f''(x) = -6x + 4$ Bây giờ, ta tính giá trị của $f''(x)$ tại điểm $x_0 = -2$: $f''(-2) = -6(-2) + 4 = 12 + 4 = 16$ Vậy $f''(-2) = 16$. Câu 2. a. Xác định góc giữa cạnh SC và mặt đáy: - Vì SA vuông góc với đáy, nên góc giữa SC và mặt đáy chính là góc $\widehat{SCA}$. - Ta tính $AC = a$ và $SA = a\sqrt{3}$. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác SAC vuông tại A: \[ SC^2 = SA^2 + AC^2 = (a\sqrt{3})^2 + a^2 = 3a^2 + a^2 = 4a^2 \] \[ SC = 2a \] - Ta tính $\cos(\widehat{SCA})$: \[ \cos(\widehat{SCA}) = \frac{AC}{SC} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \] \[ \widehat{SCA} = 60^\circ \] b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SI và AC: - Vì I là trung điểm của BC, ta có $BI = IC = \frac{BC}{2}$. - Ta tính $BC$ trong tam giác ABC vuông cân tại A: \[ BC = AB\sqrt{2} = a\sqrt{2} \] \[ BI = IC = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] - Ta tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng AC. Vì SA vuông góc với đáy, khoảng cách này chính là SA: \[ d(S, AC) = SA = a\sqrt{3} \] - Ta tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng AC. Vì I là trung điểm của BC, ta có: \[ d(I, AC) = \frac{1}{2} \times d(B, AC) = \frac{1}{2} \times AB = \frac{a}{2} \] - Ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SI và AC bằng công thức: \[ d(SI, AC) = \sqrt{d(S, AC)^2 - d(I, AC)^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{3a^2 - \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{12a^2 - a^2}{4}} = \sqrt{\frac{11a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{11}}{2} \] Đáp số: a. Góc giữa cạnh SC và mặt đáy là $60^\circ$. b. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SI và AC là $\frac{a\sqrt{11}}{2}$. Câu 3. Để tính thể tích của khối chóp cụt tứ giác đều, ta cần biết diện tích đáy dưới, diện tích đáy trên và chiều cao của khối chóp cụt. Bước 1: Tính diện tích đáy dưới và đáy trên. - Diện tích đáy dưới (S1) là: \[ S_1 = 6 \times 6 = 36 \text{ m}^2 \] - Diện tích đáy trên (S2) là: \[ S_2 = 3 \times 3 = 9 \text{ m}^2 \] Bước 2: Tính chiều cao của khối chóp cụt. - Ta vẽ đường cao từ đỉnh chóp xuống đáy dưới và gọi giao điểm là O. Gọi giao điểm giữa đường cao này và đáy trên là O'. - Ta có tam giác OO'A là tam giác vuông tại O'. - Cạnh OA = 3 m (vì là nửa cạnh đáy dưới), cạnh A'O' = 1,5 m (vì là nửa cạnh đáy trên). - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác OO'A: \[ OA^2 = OO'^2 + A'O'^2 \] \[ 4^2 = OO'^2 + 1,5^2 \] \[ 16 = OO'^2 + 2,25 \] \[ OO'^2 = 16 - 2,25 \] \[ OO'^2 = 13,75 \] \[ OO' = \sqrt{13,75} \approx 3,71 \text{ m} \] Bước 3: Tính thể tích của khối chóp cụt. - Công thức tính thể tích khối chóp cụt là: \[ V = \frac{1}{3} \times h \times (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \times S_2}) \] - Thay các giá trị vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times 3,71 \times (36 + 9 + \sqrt{36 \times 9}) \] \[ V = \frac{1}{3} \times 3,71 \times (36 + 9 + \sqrt{324}) \] \[ V = \frac{1}{3} \times 3,71 \times (36 + 9 + 18) \] \[ V = \frac{1}{3} \times 3,71 \times 63 \] \[ V = 3,71 \times 21 \] \[ V \approx 77,91 \text{ m}^3 \] Vậy số khối bê tông tươi cần để làm chân tháp là khoảng 77,91 m³.