Giải chi tiết

Câu 25: Để tính chi phí lát đá hoa cương của công viên, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích toàn bộ mảnh đất hình vuông. 2. Xác định phương trình của parabol và tính diện tích phần trồng hoa. 3. Tính diện tích phần lát đá hoa cương. 4. Tính tổng chi phí lát đá hoa cương. Bước 1: Tính diện tích toàn bộ mảnh đất hình vuông. Diện tích toàn bộ mảnh đất hình vuông là: \[ S_{\text{tổng}} = 50 \times 50 = 2500 \, m^2 \] Bước 2: Xác định phương trình của parabol và tính diện tích phần trồng hoa. Parabol đi qua điểm O(0,0), A(-25,20) và B(25,20). Phương trình parabol có dạng: \[ y = ax^2 + bx + c \] Vì đi qua điểm O(0,0), ta có: \[ c = 0 \] \[ y = ax^2 + bx \] Vì đi qua điểm A(-25,20) và B(25,20), ta có: \[ 20 = a(-25)^2 + b(-25) \] \[ 20 = 625a - 25b \quad \text{(1)} \] \[ 20 = a(25)^2 + b(25) \] \[ 20 = 625a + 25b \quad \text{(2)} \] Cộng (1) và (2): \[ 40 = 1250a \] \[ a = \frac{40}{1250} = \frac{2}{625} \] Thay \( a = \frac{2}{625} \) vào (1): \[ 20 = 625 \left(\frac{2}{625}\right) - 25b \] \[ 20 = 2 - 25b \] \[ 18 = -25b \] \[ b = -\frac{18}{25} \] Phương trình parabol là: \[ y = \frac{2}{625}x^2 - \frac{18}{25}x \] Diện tích phần trồng hoa là: \[ S_{\text{hoa}} = 2 \int_0^{25} \left( \frac{2}{625}x^2 - \frac{18}{25}x \right) dx \] Tính tích phân: \[ \int_0^{25} \left( \frac{2}{625}x^2 - \frac{18}{25}x \right) dx = \left[ \frac{2}{625} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{18}{25} \cdot \frac{x^2}{2} \right]_0^{25} \] \[ = \left[ \frac{2}{1875}x^3 - \frac{9}{25}x^2 \right]_0^{25} \] \[ = \left( \frac{2}{1875}(25)^3 - \frac{9}{25}(25)^2 \right) - 0 \] \[ = \left( \frac{2}{1875} \cdot 15625 - \frac{9}{25} \cdot 625 \right) \] \[ = \left( \frac{31250}{1875} - 225 \right) \] \[ = \left( 16.6667 - 225 \right) \] \[ = -208.3333 \] Do đó: \[ S_{\text{hoa}} = 2 \times (-208.3333) = 416.6667 \, m^2 \] Bước 3: Tính diện tích phần lát đá hoa cương. Diện tích phần lát đá hoa cương là: \[ S_{\text{đá}} = S_{\text{tổng}} - S_{\text{hoa}} \] \[ S_{\text{đá}} = 2500 - 416.6667 = 2083.3333 \, m^2 \] Bước 4: Tính tổng chi phí lát đá hoa cương. Giá tiền vật liệu và công lát đá hoa cương: \[ \text{Chi phí} = 2083.3333 \times (800000 + 200000) \] \[ = 2083.3333 \times 1000000 \] \[ = 2083333300 \, \text{đồng} \] Kết quả làm tròn đến hàng triệu: \[ \text{Chi phí} \approx 2083 \, \text{triệu đồng} \] Đáp số: Chi phí lát đá hoa cương của công viên là 2083 triệu đồng. Câu 26: Để tính số tiền nhà trường trả cho nhân công, ta cần tính diện tích phần tô đậm của cổng và sau đó nhân với chi phí nhân công. Bước 1: Xác định phương trình của hai đường parabol. - Đường parabol ngoài có đỉnh tại $(0, 0)$ và đi qua điểm $(2, 4)$. Phương trình có dạng $y = ax^2$. Thay $(2, 4)$ vào phương trình: \[ 4 = a(2)^2 \] \[ 4 = 4a \] \[ a = 1 \] Vậy phương trình của đường parabol ngoài là $y = x^2$. - Đường parabol trong có đỉnh tại $(0, 1)$ và đi qua điểm $(2, 3)$. Phương trình có dạng $y = b(x - h)^2 + k$, với đỉnh $(h, k) = (0, 1)$. Thay $(2, 3)$ vào phương trình: \[ 3 = b(2 - 0)^2 + 1 \] \[ 3 = 4b + 1 \] \[ 2 = 4b \] \[ b = \frac{1}{2} \] Vậy phương trình của đường parabol trong là $y = \frac{1}{2}x^2 + 1$. Bước 2: Tính diện tích phần tô đậm. Diện tích phần tô đậm là diện tích giữa hai đường parabol từ $x = -2$ đến $x = 2$. Ta tính diện tích này bằng cách lấy diện tích dưới đường parabol ngoài trừ diện tích dưới đường parabol trong. Diện tích dưới đường parabol ngoài từ $x = -2$ đến $x = 2$: \[ A_{\text{ngoài}} = 2 \int_{0}^{2} x^2 \, dx \] \[ A_{\text{ngoài}} = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} \] \[ A_{\text{ngoài}} = 2 \left( \frac{2^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) \] \[ A_{\text{ngoài}} = 2 \left( \frac{8}{3} \right) \] \[ A_{\text{ngoài}} = \frac{16}{3} \] Diện tích dưới đường parabol trong từ $x = -2$ đến $x = 2$: \[ A_{\text{trong}} = 2 \int_{0}^{2} \left( \frac{1}{2}x^2 + 1 \right) \, dx \] \[ A_{\text{trong}} = 2 \left[ \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{2} \] \[ A_{\text{trong}} = 2 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2^3}{3} + 2 - \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{0^3}{3} + 0 \right) \right) \] \[ A_{\text{trong}} = 2 \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} + 2 \right) \] \[ A_{\text{trong}} = 2 \left( \frac{4}{3} + 2 \right) \] \[ A_{\text{trong}} = 2 \left( \frac{4}{3} + \frac{6}{3} \right) \] \[ A_{\text{trong}} = 2 \left( \frac{10}{3} \right) \] \[ A_{\text{trong}} = \frac{20}{3} \] Diện tích phần tô đậm: \[ A_{\text{tô đậm}} = A_{\text{ngoài}} - A_{\text{trong}} \] \[ A_{\text{tô đậm}} = \frac{16}{3} - \frac{20}{3} \] \[ A_{\text{tô đậm}} = \frac{16 - 20}{3} \] \[ A_{\text{tô đậm}} = \frac{-4}{3} \] \[ A_{\text{tô đậm}} = \frac{4}{3} \] Bước 3: Tính số tiền nhà trường trả cho nhân công. Chi phí nhân công là $30.000$ đồng/m². Vậy số tiền nhà trường trả cho nhân công là: \[ \text{Số tiền} = A_{\text{tô đậm}} \times 30.000 \] \[ \text{Số tiền} = \frac{4}{3} \times 30.000 \] \[ \text{Số tiền} = 40.000 \] Đáp số: 40.000 nghìn đồng.