xbkjhbdklkh 3. (2,0 điểm) Cho $\Delta ABC$ nhọn, $AB

Question

xbkjhbdklkh 3. (2,0 điểm) Cho $\Delta ABC$ nhọn, $AB<AC.$ Vẽ đường tròn (O) đường kính BC cắt hai cạnh,AB và AC lần lượt tại E và D, BD cắt CE tại H, AH cắt BC tại F.,a) Chứng minh: $AF\bot BC$ tại F và tử giác BEHF nội tiếp.,b) Tia DE cắt đường thẳng BC tại S. Chứng minh: $SE.SD=SB.SC.$,c) Tia AH cắt (O) tại K (F nằm giữa A và K). Chứng minh: SK là tiếp tuyến của (O).

Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). 
Do đó $BD\perp AC$ và $CE\perp AB$. 
Từ đó ta có $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$, suy ra $AH\perp BC$ tại $F$. 
Ta có $\widehat{BEH}+\widehat{BCH}=180^\circ$ (cùng bù với $\widehat{BCE}$). 
Vậy tứ giác $BEHF$ nội tiếp. 
b) Ta có $\widehat{EDC}=\widehat{EBC}$ (cùng chắn cung $EC$). 
Mà $\widehat{EBC}=\widehat{EFC}$ (cùng chắn cung $EC$). 
Vậy $\widehat{EDC}=\widehat{EFC}$. 
Từ đó ta có $\Delta ESD$ đồng dạng với $\Delta ECS$ (g.g). 
Suy ra $\frac{ES}{EC}=\frac{ED}{ES}$. 
Vậy $ES^{2}=EC	imes ED$. 
Mặt khác ta có $\widehat{ECS}=\widehat{EBS}$ (cùng chắn cung $EB$). 
Vậy $\Delta ECS$ đồng dạng với $\Delta EBS$ (g.g). 
Suy ra $\frac{EC}{EB}=\frac{ES}{EB}$. 
Vậy $ES^{2}=EB	imes EC$. 
Từ đó ta có $EB	imes EC=ED	imes ES$. 
c) Ta có $\widehat{SKB}=\widehat{SCB}$ (hai góc cùng chắn cung $BK$). 
Mà $\widehat{SCB}=\widehat{SAK}$ (hai góc so le trong). 
Vậy $\widehat{SKB}=\widehat{SAK}$. 
Từ đó ta có $SK$ là tiếp tuyến của $(O)$.