giaigiup voi a

Bài 1: Để tính xác suất để học sinh đó thích hát hoặc thích nhảy, ta sẽ áp dụng công thức xác suất của sự kiện tổng hợp. Gọi: - \( A \) là sự kiện "học sinh thích hát". - \( B \) là sự kiện "học sinh thích nhảy". Theo đề bài: - Xác suất của sự kiện \( A \) là \( P(A) = 27\% = 0,27 \). - Xác suất của sự kiện \( B \) là \( P(B) = 50\% = 0,50 \). - Xác suất của sự kiện "học sinh thích cả hát và nhảy" là \( P(A \cap B) = 16\% = 0,16 \). Xác suất để học sinh đó thích hát hoặc thích nhảy là \( P(A \cup B) \). Ta áp dụng công thức xác suất của sự kiện tổng hợp: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ P(A \cup B) = 0,27 + 0,50 - 0,16 \] \[ P(A \cup B) = 0,61 \] Vậy xác suất để học sinh đó thích hát hoặc thích nhảy là \( 0,61 \) hoặc 61%. Đáp số: 61%. Bài 2: Tổng số viên bi trong hộp là: \[ 16 + 14 = 30 \text{ viên} \] Xác suất để bạn Cường lấy ra được một viên bi xanh là: \[ P(\text{Cường lấy bi xanh}) = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \] Vì bạn Cường đã trả lại viên bi vào hộp nên tổng số viên bi trong hộp vẫn là 30 viên. Xác suất để bạn Dũng lấy ra được một viên bi xanh cũng là: \[ P(\text{Dũng lấy bi xanh}) = \frac{14}{30} = \frac{7}{15} \] Xác suất để cả hai bạn đều lấy ra được bi xanh là: \[ P(\text{cả hai bạn lấy bi xanh}) = P(\text{Cường lấy bi xanh}) \times P(\text{Dũng lấy bi xanh}) = \frac{7}{15} \times \frac{7}{15} = \frac{49}{225} \] Đáp số: $\frac{49}{225}$ Bài 3: Xác suất để học sinh đó làm đúng cả hai câu hỏi là: \[ P = 0,7 \times 0,9 = 0,63 \] Đáp số: 0,63 Bài 4: Để chứng minh $B^\prime C^\prime\bot(AMA^\prime)$, ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đường thẳng vuông góc trong hình lăng trụ đứng: - Vì ABC.A'B'C' là lăng trụ đứng, nên các mặt bên là hình chữ nhật. Do đó, $A^\prime A \perp (ABC)$ và $A^\prime A \perp (A^\prime B^\prime C^\prime)$. - Mặt khác, vì đáy là tam giác đều, nên $B^\prime C^\prime \perp A^\prime M$ (vì M là trung điểm của $B^\prime C^\prime$, do đó $A^\prime M$ là đường cao hạ từ đỉnh $A^\prime$ xuống đáy $B^\prime C^\prime$). 2. Chứng minh $B^\prime C^\prime \perp AM$: - Ta có $B^\prime C^\prime \perp A^\prime M$ (như đã chứng minh ở trên). - Vì $A^\prime A \perp (A^\prime B^\prime C^\prime)$, nên $A^\prime A \perp B^\prime C^\prime$. - Kết hợp hai điều trên, ta có $B^\prime C^\prime \perp (A^\prime AM)$. - Do đó, $B^\prime C^\prime \perp AM$. 3. Kết luận: - Ta đã chứng minh được $B^\prime C^\prime \perp A^\prime M$ và $B^\prime C^\prime \perp AM$. - Theo định lý ba đường vuông góc, nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. - Vậy $B^\prime C^\prime \perp (AMA^\prime)$. Đáp số: $B^\prime C^\prime \perp (AMA^\prime)$. Bài 5: Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) và tính độ dài đoạn thẳng MN, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là: \[ y = \frac{2x - 3}{x + 2} \] Ta tính đạo hàm \( y' \): \[ y' = \frac{(2x - 3)'(x + 2) - (2x - 3)(x + 2)'}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{2(x + 2) - (2x - 3)}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x + 4 - 2x + 3}{(x + 2)^2} \] \[ y' = \frac{7}{(x + 2)^2} \] Bước 2: Xác định điều kiện vuông góc Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \( y = -7x + 1 \), vậy hệ số góc của tiếp tuyến phải là \( \frac{1}{7} \). Do đó: \[ y' = \frac{1}{7} \] \[ \frac{7}{(x + 2)^2} = \frac{1}{7} \] \[ (x + 2)^2 = 49 \] \[ x + 2 = 7 \quad \text{hoặc} \quad x + 2 = -7 \] \[ x = 5 \quad \text{hoặc} \quad x = -9 \] Vì yêu cầu tiếp tuyến tại điểm có hoành độ dương, ta chọn \( x = 5 \). Bước 3: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc Thay \( x = 5 \) vào hàm số để tìm \( y \): \[ y = \frac{2(5) - 3}{5 + 2} = \frac{10 - 3}{7} = 1 \] Vậy điểm tiếp xúc là \( (5, 1) \). Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (5, 1) \) với hệ số góc \( \frac{1}{7} \) là: \[ y - 1 = \frac{1}{7}(x - 5) \] \[ y = \frac{1}{7}x - \frac{5}{7} + 1 \] \[ y = \frac{1}{7}x + \frac{2}{7} \] Bước 5: Tìm giao điểm của tiếp tuyến với trục Ox và Oy - Giao điểm với trục Oy (đặt \( x = 0 \)): \[ y = \frac{2}{7} \] Vậy giao điểm là \( (0, \frac{2}{7}) \). - Giao điểm với trục Ox (đặt \( y = 0 \)): \[ 0 = \frac{1}{7}x + \frac{2}{7} \] \[ x = -2 \] Vậy giao điểm là \( (-2, 0) \). Bước 6: Tính độ dài đoạn thẳng MN Độ dài đoạn thẳng MN là khoảng cách giữa hai điểm \( (0, \frac{2}{7}) \) và \( (-2, 0) \): \[ MN = \sqrt{(0 - (-2))^2 + \left(\frac{2}{7} - 0\right)^2} \] \[ MN = \sqrt{2^2 + \left(\frac{2}{7}\right)^2} \] \[ MN = \sqrt{4 + \frac{4}{49}} \] \[ MN = \sqrt{\frac{196}{49} + \frac{4}{49}} \] \[ MN = \sqrt{\frac{200}{49}} \] \[ MN = \frac{\sqrt{200}}{7} \] \[ MN = \frac{10\sqrt{2}}{7} \] Vậy độ dài đoạn thẳng MN là: \[ \boxed{\frac{10\sqrt{2}}{7}} \]