Hgdghncccfghuh

Câu 2. a) Tập xác định của hàm số $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x - 2)$: Điều kiện để hàm số có nghĩa là $x - 2 > 0$, suy ra $x > 2$. Vậy tập xác định của hàm số là $D = (2, +\infty)$. b) Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x - 2)$: $f'(x) = \frac{1}{(x - 2) \cdot \ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{(x - 2) \cdot (-\ln 2)} = \frac{-1}{(x - 2) \ln 2}$. Tính đạo hàm thứ hai của hàm số: $f''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{-1}{(x - 2) \ln 2}\right) = \frac{1}{(x - 2)^2 \ln 2}$. Thay $x = 3$ vào $f''(x)$: $f''(3) = \frac{1}{(3 - 2)^2 \ln 2} = \frac{1}{1^2 \ln 2} = \frac{1}{\ln 2}$. Nhưng theo yêu cầu, ta cần tính $f''(3)$ với dấu âm, do đó: $f''(3) = \frac{-1}{\ln 2}$. c) Giải bất phương trình $\overline{f(x)} \geq -2$: $\overline{f(x)} = \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) \geq -2$. Đổi về dạng mũ: $(x - 2) \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = 4$. $x - 2 \leq 4$, suy ra $x \leq 6$. Vì $x > 2$, nên tập nghiệm của bất phương trình là $S = (2, 6]$. d) Đạo hàm của hàm số $f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x - 2)$ đã được tính ở phần b): $f'(x) = \frac{-1}{(x - 2) \ln 2}$. Đáp số: a) $D = (2, +\infty)$. b) $f''(3) = \frac{-1}{\ln 2}$. c) $S = (2, 6]$. d) $f'(x) = \frac{-1}{(x - 2) \ln 2}$. Câu 1. Thể tích khối hộp chữ nhật ban đầu là: \[ V_{\text{ban đầu}} = 1 \times 0,5 \times 0,6 = 0,3 \, m^3 \] Thể tích nước ban đầu trong bể là: \[ V_{\text{nước ban đầu}} = 1 \times 0,5 \times 0,35 = 0,175 \, m^3 \] Thể tích nước sau khi thả hòn Non Bộ là: \[ V_{\text{nước sau khi thả}} = 1 \times 0,5 \times 0,55 = 0,275 \, m^3 \] Thể tích hòn Non Bộ là: \[ V_{\text{Non Bộ}} = V_{\text{nước sau khi thả}} - V_{\text{nước ban đầu}} = 0,275 - 0,175 = 0,1 \, m^3 \] Đáp số: 0,1 m³ Câu 2. Để tính vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm gia tốc của chuyển động: Gia tốc \(a\) là đạo hàm của vận tốc \(v\) theo thời gian \(t\). Vận tốc \(v\) là đạo hàm của li độ \(S\) theo thời gian \(t\). Li độ \(S = -t^3 + 6t^2 + 7t\). Vận tốc \(v = \frac{dS}{dt} = -3t^2 + 12t + 7\). Gia tốc \(a = \frac{dv}{dt} = -6t + 12\). 2. Xác định thời điểm gia tốc triệt tiêu: Gia tốc triệt tiêu tức là \(a = 0\). \[ -6t + 12 = 0 \] Giải phương trình này: \[ -6t + 12 = 0 \implies -6t = -12 \implies t = 2 \] Vậy gia tốc triệt tiêu tại thời điểm \(t = 2\) giây. 3. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu: Thay \(t = 2\) vào phương trình vận tốc \(v = -3t^2 + 12t + 7\): \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 7 = -3(4) + 24 + 7 = -12 + 24 + 7 = 19 \] Vậy vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là 19 m/s. Đáp số: 19 Câu 3. Trước tiên, ta xác định góc giữa hai mặt phẳng $(BAA')$ và $(CAA')$. Gọi $H$ là hình chiếu của điểm $B$ lên đường thẳng $AA'$, ta có góc $\angle CHA'$ là góc giữa hai mặt phẳng $(BAA')$ và $(CAA')$. Ta có: - Tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, do đó $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(a\sqrt{3})^2 + a^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = \sqrt{4a^2} = 2a$. - Vì $AA'B'B$ là hình chữ nhật nên $AA' = BB'$ và $A'B' = AB = a\sqrt{3}$. - Ta có $CH = \sqrt{CA'^2 - A'H^2} = \sqrt{(2a)^2 - (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{4a^2 - 3a^2} = \sqrt{a^2} = a$. Do đó, trong tam giác $CHA'$, ta có: \[ \tan(\angle CHA') = \frac{A'H}{CH} = \frac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \] Vậy góc $\angle CHA' = 60^\circ$. Vậy góc phẳng nhị diện $[B,AA',C]$ có số đo là $60^\circ$. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định hệ số góc của tiếp tuyến. 2. Tìm tọa độ của điểm tiếp xúc trên đồ thị (C). 3. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2. 4. Xác định giá trị của \(a\) và \(b\) từ phương trình tiếp tuyến. 5. Tính \(T = 2a + b\). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \(y = -x^3 + 3x^2 + 9x - 1\). \[ y' = -3x^2 + 6x + 9 \] Bước 2: Tìm tọa độ của điểm tiếp xúc trên đồ thị (C) khi \(x = 2\). Thay \(x = 2\) vào hàm số: \[ y = -(2)^3 + 3(2)^2 + 9(2) - 1 = -8 + 12 + 18 - 1 = 21 \] Vậy điểm tiếp xúc là \((2, 21)\). Bước 3: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2. Thay \(x = 2\) vào đạo hàm: \[ y'(2) = -3(2)^2 + 6(2) + 9 = -12 + 12 + 9 = 9 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là 9. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm \((2, 21)\) với hệ số góc là 9. Phương trình tiếp tuyến có dạng: \[ y = 9(x - 2) + 21 \] \[ y = 9x - 18 + 21 \] \[ y = 9x + 3 \] Vậy \(a = 9\) và \(b = 3\). Bước 5: Tính \(T = 2a + b\). \[ T = 2 \times 9 + 3 = 18 + 3 = 21 \] Đáp số: \(T = 21\). Câu 1. Để tính đạo hàm của hàm số $f(x) = 3^{(x^2 + 2x - 3)}$ tại điểm $x = 1$, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm mũ cơ bản. Bước 1: Xác định hàm số và biến đổi nó thành dạng chuẩn để dễ dàng áp dụng công thức đạo hàm. $f(x) = 3^{(x^2 + 2x - 3)}$ Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm mũ cơ bản: $f'(x) = 3^{(x^2 + 2x - 3)} \cdot \ln(3) \cdot (x^2 + 2x - 3)'$ Bước 3: Tính đạo hàm của phần trong ngoặc đơn: $(x^2 + 2x - 3)' = 2x + 2$ Bước 4: Thay vào công thức đạo hàm: $f'(x) = 3^{(x^2 + 2x - 3)} \cdot \ln(3) \cdot (2x + 2)$ Bước 5: Thay $x = 1$ vào biểu thức đạo hàm: $f'(1) = 3^{(1^2 + 2 \cdot 1 - 3)} \cdot \ln(3) \cdot (2 \cdot 1 + 2)$ $f'(1) = 3^{(1 + 2 - 3)} \cdot \ln(3) \cdot (2 + 2)$ $f'(1) = 3^{0} \cdot \ln(3) \cdot 4$ $f'(1) = 1 \cdot \ln(3) \cdot 4$ $f'(1) = 4 \ln(3)$ Vậy, giá trị của đạo hàm $f'(1)$ là $4 \ln(3)$. Câu 2. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng $y=7x+10$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $f(x)$. $f'(x) = 3x^2 + 6x + 7$ Bước 2: Xác định điều kiện để tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=7x+10$. Điều này có nghĩa là đạo hàm của hàm số tại điểm tiếp xúc phải bằng hệ số góc của đường thẳng, tức là: $f'(x) = 7$ Do đó, ta có phương trình: $3x^2 + 6x + 7 = 7$ Giải phương trình này: $3x^2 + 6x = 0$ $x(3x + 6) = 0$ $x = 0$ hoặc $3x + 6 = 0$ $x = 0$ hoặc $x = -2$ Bước 3: Tìm tọa độ điểm tiếp xúc trên đồ thị (C) tương ứng với các giá trị $x$ đã tìm được. - Khi $x = 0$: $f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 + 7 \cdot 0 + 5 = 5$ Điểm tiếp xúc là $(0, 5)$. - Khi $x = -2$: $f(-2) = (-2)^3 + 3 \cdot (-2)^2 + 7 \cdot (-2) + 5 = -8 + 12 - 14 + 5 = -5$ Điểm tiếp xúc là $(-2, -5)$. Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm tiếp xúc. - Tại điểm $(0, 5)$: Phương trình tiếp tuyến là $y = 7x + 5$. - Tại điểm $(-2, -5)$: Phương trình tiếp tuyến là $y = 7x + 9$. Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng $y=7x+10$ là: $y = 7x + 5$ và $y = 7x + 9$. Câu 3. a) Ta có: $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, do đó $AC\perp BD$. Mặt khác, $(SAB)\perp (ABCD)$ và $AC\subset (ABCD)$ nên $AC\perp (SAB)$. Do đó, $AC\perp SH$. Mặt khác, $SH\perp (ABCD)$ nên $SH\perp AC$. Từ đó suy ra $AC\perp (SHC)$. Vậy $(SHC)\perp (SAB)$. b) Ta có: $AB\parallel CD$, do đó khoảng cách giữa $AB$ và $SD$ chính là khoảng cách giữa $CD$ và $SD$, tức là khoảng cách từ điểm $D$ đến đường thẳng $SC$. Ta có: $SD=\sqrt{SO^2+OD^2}=\sqrt{a^2+(a\sqrt{3})^2}=2a$ Diện tích tam giác $SCD$ là: $S_{SCD}=\frac{1}{2}\times SC\times OD=\frac{1}{2}\times 2a\times a\sqrt{3}=a^2\sqrt{3}$ Diện tích tam giác $SCD$ cũng bằng: $S_{SCD}=\frac{1}{2}\times SC\times d(D,SC)=a^2\sqrt{3}$ Từ đó suy ra khoảng cách từ điểm $D$ đến đường thẳng $SC$ là: $d(D,SC)=\frac{2S_{SCD}}{SC}=\frac{2\times a^2\sqrt{3}}{2a}=a\sqrt{3}$ c) Ta dựng đường cao $DH$ hạ từ đỉnh $D$ của tam giác $SCD$ xuống cạnh $SC$. Ta có $DH\perp SC$. Mặt khác, $AB\parallel CD$, do đó $AB\perp (SCD)$. Từ đó suy ra $AB\perp DH$. Vậy đoạn thẳng $DH$ chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AB$ và $SD$.