giải chi tiết

Câu 4: a) Xác suất $P(B)$ và $P(\overline{B})$: - Số người trả lời "sẽ mua" là 120 người. - Số người trả lời "không mua" là 130 người. - Tổng số người được phỏng vấn là 250 người. Do đó: \[ P(B) = \frac{120}{250} = \frac{12}{25} \] \[ P(\overline{B}) = \frac{130}{250} = \frac{13}{25} \] b) Xác suất có điều kiện $P(A|B)$ và $P(A|\overline{B})$: - Tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm trong nhóm trả lời "sẽ mua" là 80%, tức là $P(A|B) = 0,8$. - Tỉ lệ khách hàng thực sự sẽ mua sản phẩm trong nhóm trả lời "không mua" là 20%, tức là $P(A|\overline{B}) = 0,2$. c) Xác suất $P(A)$: Áp dụng công thức xác suất tổng: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] \[ P(A) = 0,8 \cdot \frac{12}{25} + 0,2 \cdot \frac{13}{25} \] \[ P(A) = \frac{0,8 \times 12}{25} + \frac{0,2 \times 13}{25} \] \[ P(A) = \frac{9,6}{25} + \frac{2,6}{25} \] \[ P(A) = \frac{12,2}{25} \] \[ P(A) = 0,488 \] d) Trong số những người được phỏng vấn thực sự sẽ mua sản phẩm, có bao nhiêu phần trăm người đã trả lời "sẽ mua" khi được phỏng vấn? Ta cần tính xác suất có điều kiện $P(B|A)$: \[ P(B|A) = \frac{P(A|B) \cdot P(B)}{P(A)} \] \[ P(B|A) = \frac{0,8 \cdot \frac{12}{25}}{0,488} \] \[ P(B|A) = \frac{\frac{9,6}{25}}{0,488} \] \[ P(B|A) = \frac{9,6}{25 \times 0,488} \] \[ P(B|A) = \frac{9,6}{12,2} \] \[ P(B|A) \approx 0,787 \] Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị: \[ P(B|A) \approx 79\% \] Đáp số: a) $P(B) = \frac{12}{25}$; $P(\overline{B}) = \frac{13}{25}$ b) $P(A|B) = 0,8$; $P(A|\overline{B}) = 0,2$ c) $P(A) = 0,488$ d) 79% Câu 1: Để tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích của tam giác SCD: - Tam giác SCD có đáy CD = 3 và chiều cao từ S hạ vuông góc xuống CD. - Vì SA vuông góc với mặt phẳng đáy, nên SA cũng vuông góc với CD. - Chiều cao từ S xuống CD là SA = 4. - Diện tích tam giác SCD: \[ S_{SCD} = \frac{1}{2} \times CD \times SA = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \] 2. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD: - Diện tích đáy ABCD là: \[ S_{ABCD} = 3 \times 3 = 9 \] - Thể tích khối chóp S.ABCD: \[ V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times 9 \times 4 = 12 \] 3. Tính thể tích của khối chóp S.ABD: - Diện tích tam giác ABD: \[ S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times AD = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4.5 \] - Thể tích khối chóp S.ABD: \[ V_{S.ABD} = \frac{1}{3} \times S_{ABD} \times SA = \frac{1}{3} \times 4.5 \times 4 = 6 \] 4. Tính thể tích của khối chóp S.BCD: - Thể tích khối chóp S.BCD: \[ V_{S.BCD} = V_{S.ABCD} - V_{S.ABD} = 12 - 6 = 6 \] 5. Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD): - Gọi khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là h. - Thể tích khối chóp S.BCD cũng có thể được tính qua diện tích tam giác SCD và khoảng cách h: \[ V_{S.BCD} = \frac{1}{3} \times S_{SCD} \times h \] - Thay các giá trị đã biết vào: \[ 6 = \frac{1}{3} \times 6 \times h \implies h = 3 \] 6. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD): - Vì AB song song với CD, khoảng cách giữa AB và (SCD) bằng khoảng cách từ bất kỳ điểm trên AB đến (SCD). Chọn điểm B trên AB, ta đã tính được khoảng cách từ B đến (SCD) là 3. Do đó, khoảng cách giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (SCD) là 3. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười là 3.0. Câu 2: Để tìm tổng quãng đường ngắn nhất mà người đưa thư có thể đi, ta sẽ áp dụng thuật toán tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị, cụ thể là thuật toán Nearest Neighbor hoặc thuật toán Prim. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta sẽ áp dụng trực tiếp phương pháp tìm đường đi ngắn nhất dựa vào dữ liệu đã cho. Bước 1: Xác định các điểm cần đi qua và độ dài các con đường. - Điểm A (bưu điện) - Các điểm khác: B, C, D, E, F, G, H Độ dài các con đường: - AB = 3 - AC = 4 - AD = 5 - AE = 6 - AF = 7 - AG = 8 - AH = 9 - BC = 2 - BD = 3 - BE = 4 - BF = 5 - BG = 6 - BH = 7 - CD = 1 - CE = 2 - CF = 3 - CG = 4 - CH = 5 - DE = 1 - DF = 2 - DG = 3 - DH = 4 - EF = 1 - EG = 2 - EH = 3 - FG = 1 - FH = 2 - GH = 1 Bước 2: Tìm đường đi ngắn nhất từ A đến các điểm khác và trở về A. Ta sẽ áp dụng thuật toán Nearest Neighbor để tìm đường đi ngắn nhất. - Bắt đầu từ A, chọn điểm gần nhất là B (AB = 3). - Từ B, chọn điểm gần nhất là C (BC = 2). - Từ C, chọn điểm gần nhất là D (CD = 1). - Từ D, chọn điểm gần nhất là E (DE = 1). - Từ E, chọn điểm gần nhất là F (EF = 1). - Từ F, chọn điểm gần nhất là G (FG = 1). - Từ G, chọn điểm gần nhất là H (GH = 1). - Cuối cùng, trở về A từ H (AH = 9). Tổng quãng đường: \[ AB + BC + CD + DE + EF + FG + GH + HA = 3 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 9 = 19 \] Vậy tổng quãng đường ngắn nhất mà người đưa thư có thể đi là 19 đơn vị độ dài.