giải chi tiết

Câu 11. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa trên công thức chuyển động của vật \( s(t) = t^3 - 3t^2 + 7t - 2 \). a) Tốc độ của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là \( 7 \, \text{m/s} \) Tốc độ của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 6t + 7 \] Tại thời điểm \( t = 2 \): \[ v(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 7 = 3 \cdot 4 - 12 + 7 = 12 - 12 + 7 = 7 \, \text{m/s} \] Vậy mệnh đề này là đúng. b) Gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 2 \) là \( 6 \, \text{m/s}^2 \) Gia tốc của vật là đạo hàm của tốc độ theo thời gian: \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t - 6 \] Tại thời điểm \( t = 2 \): \[ a(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 \, \text{m/s}^2 \] Vậy mệnh đề này là đúng. c) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng \( 16 \, \text{m/s} \) là \( 10 \, \text{m/s}^2 \) Trước tiên, ta tìm thời điểm \( t \) mà vận tốc \( v(t) = 16 \, \text{m/s} \): \[ 3t^2 - 6t + 7 = 16 \] \[ 3t^2 - 6t + 7 - 16 = 0 \] \[ 3t^2 - 6t - 9 = 0 \] \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Có hai nghiệm: \[ t = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{và} \quad t = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] Vì \( t > 0 \), ta chọn \( t = 3 \). Bây giờ, ta tính gia tốc tại thời điểm \( t = 3 \): \[ a(3) = 6(3) - 6 = 18 - 6 = 12 \, \text{m/s}^2 \] Vậy mệnh đề này là sai vì gia tốc tại thời điểm \( t = 3 \) là \( 12 \, \text{m/s}^2 \), không phải \( 10 \, \text{m/s}^2 \). d) Thời điểm \( t = 1 \, \text{(giây)} \) là thời điểm mà vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất Ta đã biết: \[ v(t) = 3t^2 - 6t + 7 \] Đạo hàm của \( v(t) \) để tìm cực trị: \[ \frac{dv}{dt} = 6t - 6 \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ 6t - 6 = 0 \] \[ t = 1 \] Để kiểm tra đây là cực tiểu, ta tính đạo hàm thứ hai: \[ \frac{d^2v}{dt^2} = 6 \] Vì \( \frac{d^2v}{dt^2} > 0 \), nên \( t = 1 \) là điểm cực tiểu của \( v(t) \). Vậy mệnh đề này là đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là đúng. - Mệnh đề c) là sai. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 12. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa vào phương trình chuyển động của vật. Phương trình chuyển động của vật là: \[ s(t) = 4 \cos \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \] Mệnh đề a) Mệnh đề a) nói rằng: \[ s'(t) = -8\pi \sin \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \] Ta tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ s'(t) = \frac{d}{dt} \left[ 4 \cos \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \right] \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm cos: \[ s'(t) = 4 \cdot (-\sin \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right)) \cdot \frac{d}{dt} \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \] \[ s'(t) = 4 \cdot (-\sin \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right)) \cdot 2\pi \] \[ s'(t) = -8\pi \sin \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \] Vậy mệnh đề a) là đúng. Mệnh đề b) Mệnh đề b) nói rằng: \[ s''(t) = 16\pi^2 \cos \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \] Ta tính đạo hàm của \( s'(t) \): \[ s''(t) = \frac{d}{dt} \left[ -8\pi \sin \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \right] \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm sin: \[ s''(t) = -8\pi \cdot \cos \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \cdot \frac{d}{dt} \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \] \[ s''(t) = -8\pi \cdot \cos \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \cdot 2\pi \] \[ s''(t) = -16\pi^2 \cos \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \] Vậy mệnh đề b) là sai vì dấu âm bị bỏ qua. Mệnh đề c) Mệnh đề c) nói rằng vận tốc của vật tại thời điểm \( t = 5 \) giây là \( \approx 6,505 \) m/s. Ta đã tính được: \[ s'(t) = -8\pi \sin \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \] Thay \( t = 5 \) vào: \[ s'(5) = -8\pi \sin \left( 2\pi \cdot 5 - \frac{\pi}{12} \right) \] \[ s'(5) = -8\pi \sin \left( 10\pi - \frac{\pi}{12} \right) \] \[ s'(5) = -8\pi \sin \left( \frac{120\pi - \pi}{12} \right) \] \[ s'(5) = -8\pi \sin \left( \frac{119\pi}{12} \right) \] Tính giá trị: \[ \sin \left( \frac{119\pi}{12} \right) = \sin \left( 10\pi - \frac{\pi}{12} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \] \[ \sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \approx 0,2588 \] \[ s'(5) = -8\pi \cdot (-0,2588) \approx 6,505 \] Vậy mệnh đề c) là đúng. Mệnh đề d) Mệnh đề d) nói rằng gia tốc của vật tại thời điểm \( t = 5 \) giây là \( \approx 152,533 \) m/s². Ta đã tính được: \[ s''(t) = -16\pi^2 \cos \left( 2\pi t - \frac{\pi}{12} \right) \] Thay \( t = 5 \) vào: \[ s''(5) = -16\pi^2 \cos \left( 2\pi \cdot 5 - \frac{\pi}{12} \right) \] \[ s''(5) = -16\pi^2 \cos \left( 10\pi - \frac{\pi}{12} \right) \] \[ s''(5) = -16\pi^2 \cos \left( \frac{120\pi - \pi}{12} \right) \] \[ s''(5) = -16\pi^2 \cos \left( \frac{119\pi}{12} \right) \] Tính giá trị: \[ \cos \left( \frac{119\pi}{12} \right) = \cos \left( 10\pi - \frac{\pi}{12} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) \] \[ \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) \approx 0,9659 \] \[ s''(5) = -16\pi^2 \cdot 0,9659 \approx -152,533 \] Vậy mệnh đề d) là đúng. Kết luận - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là đúng. Câu 13. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của điểm M trên đồ thị (C). 2. Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M. 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M. 4. Kiểm tra từng mệnh đề dựa trên phương trình tiếp tuyến đã tìm được. Bước 1: Tìm tọa độ của điểm M. - Hoành độ của điểm M là \( x_0 = -1 \). - Tính tung độ của điểm M: \( y_0 = f(-1) = 2(-1)^3 = -2 \). Vậy tọa độ của điểm M là \( (-1, -2) \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M. - Đạo hàm của hàm số \( f(x) = 2x^3 \) là \( f'(x) = 6x^2 \). - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M là \( f'(-1) = 6(-1)^2 = 6 \). Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M. - Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng: \( y = f'(-1)(x + 1) - 2 \). - Thay vào ta có: \( y = 6(x + 1) - 2 \). - Rút gọn phương trình: \( y = 6x + 6 - 2 \) hay \( y = 6x + 4 \). Bước 4: Kiểm tra từng mệnh đề: a) Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M bằng 6. - Đúng, vì chúng ta đã tính được hệ số góc là 6. b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M đi qua điểm \( A(0, 4) \). - Thay \( x = 0 \) vào phương trình tiếp tuyến: \( y = 6(0) + 4 = 4 \). - Vậy điểm \( A(0, 4) \) nằm trên tiếp tuyến, nên mệnh đề này đúng. c) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M cắt đường thẳng \( d: y = 3x \) tại điểm có hoành độ bằng 4. - Thay \( x = 4 \) vào phương trình tiếp tuyến: \( y = 6(4) + 4 = 24 + 4 = 28 \). - Thay \( x = 4 \) vào phương trình đường thẳng \( d \): \( y = 3(4) = 12 \). - Vì \( 28 \neq 12 \), nên mệnh đề này sai. d) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng \( \Delta: y = -\frac{1}{6}x \). - Hệ số góc của đường thẳng \( \Delta \) là \( -\frac{1}{6} \). - Hai đường thẳng vuông góc khi tích của hai hệ số góc bằng -1: \( 6 \times -\frac{1}{6} = -1 \). - Vậy mệnh đề này đúng. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Đúng Câu 1. Để tính hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ bằng 1, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $f(x)$. $f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + x) = -6x^2 + 1$ Bước 2: Thay giá trị $x = 1$ vào đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó. $f'(1) = -6(1)^2 + 1 = -6 + 1 = -5$ Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành độ bằng 1 là $-5$. Câu 2. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm, ta cần thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số - Hàm số: \( y = f(x) = -2x^3 + x \) - Đạo hàm: \( f'(x) = \frac{d}{dx}(-2x^3 + x) = -6x^2 + 1 \) Bước 2: Tính giá trị đạo hàm tại điểm M(-2;14) - Thay \( x = -2 \) vào đạo hàm: \[ f'(-2) = -6(-2)^2 + 1 = -6(4) + 1 = -24 + 1 = -23 \] Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( (x_0, y_0) \) có dạng: \[ y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0 \] - Tại điểm \( M(-2;14) \): \[ y = -23(x + 2) + 14 \] \[ y = -23x - 46 + 14 \] \[ y = -23x - 32 \] Kết luận: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = -2x^3 + x \) tại điểm \( M(-2;14) \) là: \[ y = -23x - 32 \] --- Bước 1: Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành - Hàm số: \( y = f(x) = \frac{x+1}{3x} \) - Giao điểm với trục hoành là điểm mà \( y = 0 \): \[ \frac{x+1}{3x} = 0 \] \[ x + 1 = 0 \] \[ x = -1 \] - Vậy giao điểm là \( (-1, 0) \). Bước 2: Tìm đạo hàm của hàm số - Đạo hàm: \( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x+1}{3x}\right) \) - Áp dụng quy tắc thương: \[ f'(x) = \frac{(x+1)' \cdot 3x - (x+1) \cdot (3x)'}{(3x)^2} = \frac{1 \cdot 3x - (x+1) \cdot 3}{9x^2} = \frac{3x - 3x - 3}{9x^2} = \frac{-3}{9x^2} = \frac{-1}{3x^2} \] Bước 3: Tính giá trị đạo hàm tại điểm giao điểm (-1, 0) - Thay \( x = -1 \) vào đạo hàm: \[ f'(-1) = \frac{-1}{3(-1)^2} = \frac{-1}{3} \] Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( (x_0, y_0) \) có dạng: \[ y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0 \] - Tại điểm \( (-1, 0) \): \[ y = \frac{-1}{3}(x + 1) + 0 \] \[ y = \frac{-1}{3}x - \frac{1}{3} \] Kết luận: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = \frac{x+1}{3x} \) tại giao điểm với trục hoành là: \[ y = \frac{-1}{3}x - \frac{1}{3} \] Câu 3. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = f(x) = \frac{x+1}{3x} \) tại giao điểm của (C) với đường thẳng \( y = x + 1 \), chúng ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm của (C) với đường thẳng \( y = x + 1 \) Ta thay \( y = x + 1 \) vào phương trình của hàm số \( y = \frac{x+1}{3x} \): \[ x + 1 = \frac{x+1}{3x} \] Nhân cả hai vế với \( 3x \) để loại bỏ mẫu số: \[ 3x(x + 1) = x + 1 \] \[ 3x^2 + 3x = x + 1 \] \[ 3x^2 + 2x - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \( a = 3 \), \( b = 2 \), \( c = -1 \): \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{6} \] \[ x = \frac{-2 \pm 4}{6} \] \[ x_1 = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] \[ x_2 = \frac{-6}{6} = -1 \] Tìm \( y \) tương ứng: - Khi \( x = \frac{1}{3} \): \[ y = \frac{\frac{1}{3} + 1}{3 \cdot \frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{1} = \frac{4}{3} \] - Khi \( x = -1 \): \[ y = \frac{-1 + 1}{3 \cdot (-1)} = \frac{0}{-3} = 0 \] Vậy giao điểm là \( \left( \frac{1}{3}, \frac{4}{3} \right) \) và \( (-1, 0) \). Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \) \[ f'(x) = \left( \frac{x+1}{3x} \right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ f'(x) = \frac{(x+1)' \cdot 3x - (x+1) \cdot (3x)'}{(3x)^2} \] \[ f'(x) = \frac{1 \cdot 3x - (x+1) \cdot 3}{9x^2} \] \[ f'(x) = \frac{3x - 3x - 3}{9x^2} \] \[ f'(x) = \frac{-3}{9x^2} \] \[ f'(x) = \frac{-1}{3x^2} \] Bước 3: Tính giá trị đạo hàm tại các giao điểm - Tại \( x = \frac{1}{3} \): \[ f'\left( \frac{1}{3} \right) = \frac{-1}{3 \left( \frac{1}{3} \right)^2} = \frac{-1}{3 \cdot \frac{1}{9}} = \frac{-1}{\frac{1}{3}} = -3 \] - Tại \( x = -1 \): \[ f'(-1) = \frac{-1}{3(-1)^2} = \frac{-1}{3 \cdot 1} = \frac{-1}{3} \] Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến Phương trình tiếp tuyến của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( (x_0, y_0) \) là: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] - Tại \( \left( \frac{1}{3}, \frac{4}{3} \right) \): \[ y - \frac{4}{3} = -3 \left( x - \frac{1}{3} \right) \] \[ y - \frac{4}{3} = -3x + 1 \] \[ y = -3x + 1 + \frac{4}{3} \] \[ y = -3x + \frac{7}{3} \] - Tại \( (-1, 0) \): \[ y - 0 = \frac{-1}{3}(x + 1) \] \[ y = \frac{-1}{3}x - \frac{1}{3} \] Kết luận: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = \frac{x+1}{3x} \) tại giao điểm với đường thẳng \( y = x + 1 \) là: 1. \( y = -3x + \frac{7}{3} \) 2. \( y = \frac{-1}{3}x - \frac{1}{3} \) Câu 4. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với tung độ tiếp điểm bằng 3, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ tiếp điểm: - Gọi tọa độ tiếp điểm là $(x_0, y_0)$. - Biết rằng $y_0 = 3$, thay vào phương trình hàm số để tìm $x_0$: \[ 3 = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 2} \] - Nhân cả hai vế với $(x_0 - 2)$: \[ 3(x_0 - 2) = 2x_0 - 1 \] - Giải phương trình: \[ 3x_0 - 6 = 2x_0 - 1 \\ 3x_0 - 2x_0 = -1 + 6 \\ x_0 = 5 \] - Vậy tọa độ tiếp điểm là $(5, 3)$. 2. Tìm đạo hàm của hàm số: - Hàm số $y = \frac{2x - 1}{x - 2}$. - Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(2x - 1)'(x - 2) - (2x - 1)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{2(x - 2) - (2x - 1)}{(x - 2)^2} = \frac{2x - 4 - 2x + 1}{(x - 2)^2} = \frac{-3}{(x - 2)^2} \] 3. Tính giá trị đạo hàm tại điểm tiếp xúc: - Thay $x_0 = 5$ vào đạo hàm: \[ y'(5) = \frac{-3}{(5 - 2)^2} = \frac{-3}{3^2} = \frac{-3}{9} = -\frac{1}{3} \] 4. Viết phương trình tiếp tuyến: - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $y'(x_0)$ là: \[ y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \] - Thay $(x_0, y_0) = (5, 3)$ và $y'(5) = -\frac{1}{3}$: \[ y - 3 = -\frac{1}{3}(x - 5) \] - Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ phân số: \[ 3(y - 3) = -(x - 5) \\ 3y - 9 = -x + 5 \\ 3y = -x + 14 \\ x + 3y - 14 = 0 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 là: \[ \boxed{x + 3y - 14 = 0} \] Câu 5. Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ song song với đường thẳng $\Delta: 9x - y + 6 = 0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Hàm số đã cho là $y = x^3 - 3x^2 + 1$. Ta tính đạo hàm của hàm số này: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) = 3x^2 - 6x \] 2. Xác định hệ số góc của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ có phương trình $9x - y + 6 = 0$. Chuyển về dạng $y = mx + b$, ta có: \[ y = 9x + 6 \] Vậy hệ số góc của đường thẳng $\Delta$ là $m = 9$. 3. Tìm điểm trên đồ thị $(C)$ sao cho đạo hàm tại điểm đó bằng hệ số góc của đường thẳng $\Delta$: Để tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ song song với đường thẳng $\Delta$, đạo hàm của hàm số tại điểm tiếp xúc phải bằng 9: \[ y' = 3x^2 - 6x = 9 \] Giải phương trình này: \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \quad \text{và} \quad x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 \] 4. Tìm tọa độ các điểm tiếp xúc: Thay $x_1 = 3$ và $x_2 = -1$ vào hàm số để tìm tung độ tương ứng: - Khi $x = 3$: \[ y = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 1 = 27 - 27 + 1 = 1 \] Điểm tiếp xúc là $(3, 1)$. - Khi $x = -1$: \[ y = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + 1 = -1 - 3 + 1 = -3 \] Điểm tiếp xúc là $(-1, -3)$. 5. Viết phương trình tiếp tuyến: - Tiếp tuyến tại điểm $(3, 1)$: \[ y - 1 = 9(x - 3) \implies y = 9x - 27 + 1 \implies y = 9x - 26 \] - Tiếp tuyến tại điểm $(-1, -3)$: \[ y + 3 = 9(x + 1) \implies y = 9x + 9 - 3 \implies y = 9x + 6 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ song song với đường thẳng $\Delta$ là: \[ y = 9x - 26 \quad \text{và} \quad y = 9x + 6 \] Câu 6. Để tính số tiền người đó nhận được sau 1 tháng khi gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép liên tục, ta sử dụng công thức lãi kép liên tục: \[ A = P e^{rt} \] Trong đó: - \( A \) là số tiền cuối cùng sau thời gian \( t \). - \( P \) là số tiền ban đầu (tiền gốc). - \( r \) là lãi suất hàng năm. - \( t \) là thời gian (đơn vị: năm). - \( e \) là hằng số Euler (khoảng 2.71828). Bước 1: Xác định các thông số. - Số tiền ban đầu \( P = 20 \) triệu đồng. - Lãi suất hàng năm \( r = 6\% = 0.06 \). - Thời gian \( t = 1 \) tháng = \( \frac{1}{12} \) năm. Bước 2: Thay các giá trị vào công thức lãi kép liên tục. \[ A = 20 \times e^{0.06 \times \frac{1}{12}} \] Bước 3: Tính toán. \[ A = 20 \times e^{0.005} \] Sử dụng máy tính để tính \( e^{0.005} \): \[ e^{0.005} \approx 1.0050125 \] Do đó: \[ A \approx 20 \times 1.0050125 \] \[ A \approx 20.10025 \] Vậy số tiền người đó nhận được sau 1 tháng là khoảng 20.100.250 đồng. Đáp số: 20.100.250 đồng. Câu 7. Gọi số tiền gửi ban đầu là \( A \). Sau 1 năm, số tiền lãi là: \[ A \times \frac{7,5}{100} = 0,075A \] Số tiền trong tài khoản sau 1 năm là: \[ A + 0,075A = 1,075A \] Sau 2 năm, số tiền lãi là: \[ 1,075A \times \frac{7,5}{100} = 1,075A \times 0,075 = 0,080625A \] Số tiền trong tài khoản sau 2 năm là: \[ 1,075A + 0,080625A = 1,155625A \] Sau 3 năm, số tiền lãi là: \[ 1,155625A \times \frac{7,5}{100} = 1,155625A \times 0,075 = 0,086671875A \] Số tiền trong tài khoản sau 3 năm là: \[ 1,155625A + 0,086671875A = 1,242296875A \] Sau 4 năm, số tiền lãi là: \[ 1,242296875A \times \frac{7,5}{100} = 1,242296875A \times 0,075 = 0,093172265625A \] Số tiền trong tài khoản sau 4 năm là: \[ 1,242296875A + 0,093172265625A = 1,335469140625A \] Sau 5 năm, số tiền lãi là: \[ 1,335469140625A \times \frac{7,5}{100} = 1,335469140625A \times 0,075 = 0,100160185546875A \] Số tiền trong tài khoản sau 5 năm là: \[ 1,335469140625A + 0,100160185546875A = 1,435629326171875A \] Sau 6 năm, số tiền lãi là: \[ 1,435629326171875A \times \frac{7,5}{100} = 1,435629326171875A \times 0,075 = 0,10767219946296875A \] Số tiền trong tài khoản sau 6 năm là: \[ 1,435629326171875A + 0,10767219946296875A = 1,5433015256348438A \] Sau 7 năm, số tiền lãi là: \[ 1,5433015256348438A \times \frac{7,5}{100} = 1,5433015256348438A \times 0,075 = 0,11574761442261328A \] Số tiền trong tài khoản sau 7 năm là: \[ 1,5433015256348438A + 0,11574761442261328A = 1,659049140057457A \] Sau 8 năm, số tiền lãi là: \[ 1,659049140057457A \times \frac{7,5}{100} = 1,659049140057457A \times 0,075 = 0,12442868550430928A \] Số tiền trong tài khoản sau 8 năm là: \[ 1,659049140057457A + 0,12442868550430928A = 1,7834778255617663A \] Sau 9 năm, số tiền lãi là: \[ 1,7834778255617663A \times \frac{7,5}{100} = 1,7834778255617663A \times 0,075 = 0,13376083691713247A \] Số tiền trong tài khoản sau 9 năm là: \[ 1,7834778255617663A + 0,13376083691713247A = 1,9172386624788988A \] Sau 10 năm, số tiền lãi là: \[ 1,9172386624788988A \times \frac{7,5}{100} = 1,9172386624788988A \times 0,075 = 0,1437928996861674A \] Số tiền trong tài khoản sau 10 năm là: \[ 1,9172386624788988A + 0,1437928996861674A = 2,0610315621650662A \] Như vậy, sau 10 năm, số tiền trong tài khoản sẽ gấp đôi số tiền ban đầu. Do đó, thời gian ngắn nhất để số tiền người đó thu được gấp đôi số tiền đã gửi ban đầu là 10 năm. Câu 8. Lãi suất trong mỗi kì hạn là: \[ \frac{9,1\%}{4} = 2,275\% \] Số kì hạn trong một năm là: \[ 4 \text{ kì hạn} \] Tiền lãi kép sau một năm là: \[ 200 \times \left(1 + \frac{2,275}{100}\right)^4 - 200 \] \[ = 200 \times (1,02275)^4 - 200 \] \[ = 200 \times 1,094 - 200 \] \[ = 218,8 - 200 \] \[ = 18,8 \text{ triệu đồng} \] Tổng số tiền vốn và lãi mà ông Năm nhận được sau một năm là: \[ 200 + 18,8 = 218,8 \text{ triệu đồng} \] Đáp số: 218,8 triệu đồng