xykxgkxgkxyifyodoy

Câu 1: Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác SBD: - Ta biết tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Do đó, SB = AB = 2. - Vì đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2 và AD = 1, nên BD = $\sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$. - Diện tích tam giác SBD: \[ S_{SBD} = \frac{1}{2} \times SB \times BD \times \sin(\angle SBD) \] Vì tam giác SAB đều, góc SBA = 60°, do đó góc SBD cũng là 60° (vì SB nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy): \[ S_{SBD} = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{5} \times \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{2} \] 2. Tính thể tích khối chóp SABD: - Diện tích đáy ABCD: \[ S_{ABCD} = AB \times AD = 2 \times 1 = 2 \] - Thể tích khối chóp SABD: \[ V_{SABD} = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SA = \frac{1}{3} \times 2 \times 2 = \frac{4}{3} \] 3. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD): - Gọi khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) là h. - Thể tích khối chóp SABD cũng có thể được tính qua diện tích tam giác SBD và khoảng cách h: \[ V_{SABD} = \frac{1}{3} \times S_{SBD} \times h \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{4}{3} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{15}}{2} \times h \] Giải phương trình để tìm h: \[ \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{15}}{6} \times h \implies h = \frac{4}{3} \times \frac{6}{\sqrt{15}} = \frac{8}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{15}}{15} \] Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai: \[ h \approx 2.07 \] Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD) là khoảng 2.07. Câu 2: Để tìm đường đi ngắn nhất từ A đến P, ta sẽ tính tổng khoảng cách của từng đường đi và so sánh chúng. Có ba đường đi từ A đến P: 1. Đường đi qua B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P. 2. Đường đi qua B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P. 3. Đường đi qua B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P. Tính tổng khoảng cách của từng đường đi: 1. Đường đi qua B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P: - AB = 1 - BC = 1 - CD = 1 - DE = 1 - EF = 1 - FG = 1 - GH = 1 - HI = 1 - IJ = 1 - JK = 1 - KL = 1 - LM = 1 - MN = 1 - NO = 1 - OP = 1 Tổng khoảng cách: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 15 2. Đường đi qua B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P: - AB = 1 - BC = 1 - CD = 1 - DE = 1 - EF = 1 - FG = 1 - GH = 1 - HI = 1 - IJ = 1 - JK = 1 - KL = 1 - LM = 1 - MN = 1 - NO = 1 - OP = 1 Tổng khoảng cách: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 15 3. Đường đi qua B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P: - AB = 1 - BC = 1 - CD = 1 - DE = 1 - EF = 1 - FG = 1 - GH = 1 - HI = 1 - IJ = 1 - JK = 1 - KL = 1 - LM = 1 - MN = 1 - NO = 1 - OP = 1 Tổng khoảng cách: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 15 Như vậy, tất cả các đường đi đều có tổng khoảng cách là 15. Do đó, giá trị nhỏ nhất của đường đi từ A đến P là 15. Đáp số: 15 Câu 3: Để tính diện tích mặt kính, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính diện tích tam giác đều ban đầu: - Cạnh của tam giác đều là 12 dm. - Diện tích tam giác đều được tính bằng công thức: \[ S_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \] Thay \( a = 12 \): \[ S_{\text{tam giác}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 144 = 36\sqrt{3} \text{ (dm}^2) \] 2. Tính diện tích phần bị cắt đi bởi parabol: - Phương trình parabol là \( y = -\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + 5\sqrt{3} \). - Để tìm diện tích phần bị cắt đi, chúng ta cần tính diện tích dưới parabol từ \( x = -6 \) đến \( x = 6 \) (vì tam giác đều có cạnh 12 dm, mỗi nửa cạnh là 6 dm). Diện tích dưới parabol từ \( x = -6 \) đến \( x = 6 \) được tính bằng tích phân: \[ S_{\text{parabol}} = 2 \int_{0}^{6} \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + 5\sqrt{3}\right) dx \] Tính tích phân: \[ \int_{0}^{6} \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}x^2 + 5\sqrt{3}\right) dx = \left[ -\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{x^3}{3} + 5\sqrt{3}x \right]_{0}^{6} \] \[ = \left[ -\frac{\sqrt{3}}{12}x^3 + 5\sqrt{3}x \right]_{0}^{6} \] \[ = \left( -\frac{\sqrt{3}}{12} \cdot 6^3 + 5\sqrt{3} \cdot 6 \right) - \left( -\frac{\sqrt{3}}{12} \cdot 0^3 + 5\sqrt{3} \cdot 0 \right) \] \[ = \left( -\frac{\sqrt{3}}{12} \cdot 216 + 30\sqrt{3} \right) - 0 \] \[ = -18\sqrt{3} + 30\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \] Vậy diện tích dưới parabol từ \( x = -6 \) đến \( x = 6 \) là: \[ S_{\text{parabol}} = 2 \times 12\sqrt{3} = 24\sqrt{3} \text{ (dm}^2) \] 3. Tính diện tích mặt kính còn lại: - Diện tích mặt kính còn lại là diện tích tam giác trừ đi diện tích phần bị cắt đi: \[ S_{\text{còn lại}} = S_{\text{tam giác}} - S_{\text{parabol}} \] \[ S_{\text{còn lại}} = 36\sqrt{3} - 24\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \text{ (dm}^2) \] 4. Làm tròn kết quả đến hàng phần chục: - \( 12\sqrt{3} \approx 12 \times 1.732 = 20.784 \) Làm tròn đến hàng phần chục: \[ 20.784 \approx 20.8 \text{ (dm}^2) \] Vậy diện tích mặt kính còn lại là \( 20.8 \text{ (dm}^2) \). Câu 4: Để xác định quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu, ta cần tìm khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu và so sánh với bán kính phát hiện của đài kiểm soát không lưu. 1. Tìm khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu: - Tọa độ của máy bay theo thời gian \( t \) là \( (-1000 + 100t, -200 + 80t, 10) \). - Tọa độ của đài kiểm soát không lưu là \( (0, 0, 0) \). Khoảng cách \( d \) giữa hai điểm này là: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \] Thay tọa độ vào công thức: \[ d = \sqrt{(-1000 + 100t - 0)^2 + (-200 + 80t - 0)^2 + (10 - 0)^2} \] \[ d = \sqrt{(100t - 1000)^2 + (80t - 200)^2 + 10^2} \] 2. Đặt khoảng cách này bằng bán kính phát hiện của đài kiểm soát không lưu: \[ \sqrt{(100t - 1000)^2 + (80t - 200)^2 + 10^2} = 600 \] Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn bậc hai: \[ (100t - 1000)^2 + (80t - 200)^2 + 10^2 = 600^2 \] \[ (100t - 1000)^2 + (80t - 200)^2 + 100 = 360000 \] \[ (100t - 1000)^2 + (80t - 200)^2 = 359900 \] 3. Giải phương trình bậc hai: \[ (100t - 1000)^2 + (80t - 200)^2 = 359900 \] \[ 10000t^2 - 200000t + 1000000 + 6400t^2 - 32000t + 40000 = 359900 \] \[ 16400t^2 - 232000t + 1040000 = 359900 \] \[ 16400t^2 - 232000t + 680100 = 0 \] Chia cả phương trình cho 100 để đơn giản hóa: \[ 164t^2 - 2320t + 6801 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 164 \), \( b = -2320 \), \( c = 6801 \): \[ t = \frac{2320 \pm \sqrt{2320^2 - 4 \cdot 164 \cdot 6801}}{2 \cdot 164} \] \[ t = \frac{2320 \pm \sqrt{5382400 - 4480656}}{328} \] \[ t = \frac{2320 \pm \sqrt{901744}}{328} \] \[ t = \frac{2320 \pm 949.6}{328} \] Ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{2320 + 949.6}{328} \approx 9.57 \] \[ t_2 = \frac{2320 - 949.6}{328} \approx 4.17 \] 4. Xác định quãng đường máy bay nhận được tín hiệu: - Khi \( t = 4.17 \), máy bay bắt đầu nhận tín hiệu. - Khi \( t = 9.57 \), máy bay ngừng nhận tín hiệu. Quãng đường máy bay nhận được tín hiệu là: \[ \text{Quãng đường} = 100 \times (9.57 - 4.17) = 100 \times 5.4 = 540 \text{ km} \] Đáp số: 540 km Câu 5: Để tìm hoành độ của điểm để xây dựng bến thuyền sao cho khoảng cách từ bến thuyền đến con đường là ngắn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = \frac{1}{10}(-x^3 + 9x^2 - 15x + 56) \) song song với đường thẳng \( y = -1,5x + 18 \) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( (x_0, y_0) \) có phương trình: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Trong đó, \( f'(x) \) là đạo hàm của hàm số \( f(x) \). Ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{1}{10}(-x^3 + 9x^2 - 15x + 56) \] \[ f'(x) = \frac{1}{10}(-3x^2 + 18x - 15) = -\frac{3}{10}x^2 + \frac{9}{5}x - \frac{3}{2} \] Tiếp tuyến song song với đường thẳng \( y = -1,5x + 18 \) có cùng hệ số góc \( -1,5 \). Do đó, ta cần tìm \( x_0 \) sao cho: \[ f'(x_0) = -1,5 \] \[ -\frac{3}{10}x_0^2 + \frac{9}{5}x_0 - \frac{3}{2} = -1,5 \] Nhân cả hai vế với 10 để loại bỏ mẫu số: \[ -3x_0^2 + 18x_0 - 15 = -15 \] \[ -3x_0^2 + 18x_0 = 0 \] \[ x_0(-3x_0 + 18) = 0 \] \[ x_0 = 0 \quad \text{hoặc} \quad -3x_0 + 18 = 0 \] \[ x_0 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x_0 = 6 \] 2. Kiểm tra các điểm \( x_0 = 0 \) và \( x_0 = 6 \) - Với \( x_0 = 0 \): \[ y_0 = f(0) = \frac{1}{10}(56) = 5,6 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (0, 5,6) \): \[ y - 5,6 = -1,5(x - 0) \] \[ y = -1,5x + 5,6 \] - Với \( x_0 = 6 \): \[ y_0 = f(6) = \frac{1}{10}(-6^3 + 9 \cdot 6^2 - 15 \cdot 6 + 56) = \frac{1}{10}(-216 + 324 - 90 + 56) = \frac{1}{10}(74) = 7,4 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm \( (6, 7,4) \): \[ y - 7,4 = -1,5(x - 6) \] \[ y = -1,5x + 9 + 7,4 \] \[ y = -1,5x + 16,4 \] 3. So sánh khoảng cách từ các điểm tiếp xúc đến đường thẳng \( y = -1,5x + 18 \) - Khoảng cách từ điểm \( (0, 5,6) \) đến đường thẳng \( y = -1,5x + 18 \): \[ d_1 = \frac{|-1,5 \cdot 0 + 18 - 5,6|}{\sqrt{(-1,5)^2 + 1^2}} = \frac{|12,4|}{\sqrt{2,25 + 1}} = \frac{12,4}{\sqrt{3,25}} \approx 6,97 \] - Khoảng cách từ điểm \( (6, 7,4) \) đến đường thẳng \( y = -1,5x + 18 \): \[ d_2 = \frac{|-1,5 \cdot 6 + 18 - 7,4|}{\sqrt{(-1,5)^2 + 1^2}} = \frac{|-9 + 18 - 7,4|}{\sqrt{2,25 + 1}} = \frac{|1,6|}{\sqrt{3,25}} \approx 0,89 \] Như vậy, khoảng cách từ điểm \( (6, 7,4) \) đến đường thẳng \( y = -1,5x + 18 \) là ngắn nhất. Đáp số: Hoành độ của điểm để xây dựng bến thuyền là \( x = 6 \). Câu 6: Để tính xác suất để trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một chính phẩm, ta sẽ tính xác suất để cả hai sản phẩm đều là phế phẩm và sau đó lấy 1 trừ đi xác suất này. Bước 1: Xác định tổng số sản phẩm trong mỗi lô: - Lô 1: 7 chính phẩm + 3 phế phẩm = 10 sản phẩm. - Lô 2: 8 chính phẩm + 2 phế phẩm = 10 sản phẩm. Bước 2: Xác định số cách chọn 2 sản phẩm từ lô 1 và 3 sản phẩm từ lô 2: - Số cách chọn 2 sản phẩm từ lô 1: \( C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = 45 \) - Số cách chọn 3 sản phẩm từ lô 2: \( C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = 120 \) Bước 3: Xác định số cách chọn 2 sản phẩm từ tổng số sản phẩm đã lấy ra (2 từ lô 1 và 3 từ lô 2): - Tổng số sản phẩm đã lấy ra: 2 + 3 = 5 sản phẩm. - Số cách chọn 2 sản phẩm từ 5 sản phẩm: \( C_{5}^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \) Bước 4: Xác định số cách chọn 2 phế phẩm từ tổng số sản phẩm đã lấy ra: - Số phế phẩm từ lô 1: 3 phế phẩm. - Số phế phẩm từ lô 2: 2 phế phẩm. - Tổng số phế phẩm đã lấy ra: 3 + 2 = 5 phế phẩm. - Số cách chọn 2 phế phẩm từ 5 phế phẩm: \( C_{5}^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \) Bước 5: Tính xác suất để cả hai sản phẩm đều là phế phẩm: - Xác suất để cả hai sản phẩm đều là phế phẩm: \( \frac{10}{10} = 1 \) Bước 6: Tính xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhất một chính phẩm: - Xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhất một chính phẩm: \( 1 - 1 = 0 \) Vậy xác suất để trong 2 sản phẩm đó có ít nhất một chính phẩm là 0.