Cho hàm số y=x4-2x2+1 (C) Viết pttt của (C) tại điểm a) Có hoành độ bằng 2 b) Có tung độ bằng 1

Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = x^4 - 2x^2 + 1\) (gọi là (C)) tại các điểm đã cho, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số \(y = x^4 - 2x^2 + 1\). Đạo hàm của hàm số này là: \[ y' = 4x^3 - 4x \] Bước 2: Xác định tọa độ điểm tiếp xúc a) Điểm có hoành độ bằng 2 - Thay \(x = 2\) vào hàm số để tìm tung độ: \[ y = 2^4 - 2 \cdot 2^2 + 1 = 16 - 8 + 1 = 9 \] Do đó, điểm tiếp xúc là \(M(2, 9)\). - Tính giá trị đạo hàm tại điểm \(x = 2\): \[ y'(2) = 4 \cdot 2^3 - 4 \cdot 2 = 4 \cdot 8 - 8 = 32 - 8 = 24 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(M(2, 9)\) là \(k = 24\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M(2, 9)\) là: \[ y - 9 = 24(x - 2) \] \[ y = 24x - 48 + 9 \] \[ y = 24x - 39 \] b) Điểm có tung độ bằng 1 - Ta cần tìm các giá trị \(x\) sao cho \(y = 1\): \[ x^4 - 2x^2 + 1 = 1 \] \[ x^4 - 2x^2 = 0 \] \[ x^2(x^2 - 2) = 0 \] \[ x^2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = 2 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm \sqrt{2} \] Do đó, các điểm tiếp xúc là \(A(0, 1)\), \(B(\sqrt{2}, 1)\), và \(C(-\sqrt{2}, 1)\). - Tính giá trị đạo hàm tại các điểm này: - Tại \(x = 0\): \[ y'(0) = 4 \cdot 0^3 - 4 \cdot 0 = 0 \] Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(A(0, 1)\) là \(k = 0\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(A(0, 1)\) là: \[ y - 1 = 0(x - 0) \] \[ y = 1 \] - Tại \(x = \sqrt{2}\): \[ y'(\sqrt{2}) = 4 (\sqrt{2})^3 - 4 \sqrt{2} = 4 \cdot 2\sqrt{2} - 4 \sqrt{2} = 8\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \] Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(B(\sqrt{2}, 1)\) là \(k = 4\sqrt{2}\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(B(\sqrt{2}, 1)\) là: \[ y - 1 = 4\sqrt{2}(x - \sqrt{2}) \] \[ y = 4\sqrt{2}x - 8 + 1 \] \[ y = 4\sqrt{2}x - 7 \] - Tại \(x = -\sqrt{2}\): \[ y'(-\sqrt{2}) = 4 (-\sqrt{2})^3 - 4 (-\sqrt{2}) = 4 \cdot (-2\sqrt{2}) + 4 \sqrt{2} = -8\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = -4\sqrt{2} \] Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm \(C(-\sqrt{2}, 1)\) là \(k = -4\sqrt{2}\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(C(-\sqrt{2}, 1)\) là: \[ y - 1 = -4\sqrt{2}(x + \sqrt{2}) \] \[ y = -4\sqrt{2}x - 8 + 1 \] \[ y = -4\sqrt{2}x - 7 \] Kết luận - Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 là: \[ y = 24x - 39 \] - Phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1 là: - Tại điểm \(A(0, 1)\): \(y = 1\) - Tại điểm \(B(\sqrt{2}, 1)\): \(y = 4\sqrt{2}x - 7\) - Tại điểm \(C(-\sqrt{2}, 1)\): \(y = -4\sqrt{2}x - 7\)