Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm E, gọi F là điểm đối xứng của điểm C qua E.
a) Chứng minh tứ giác AFBD là hình thang.
b) Gọi G và H lần lượt là hình chiếu của điểm F trên đường thẳng AB, AD. Chứng minh ba điểm E, G, H thẳng hàng.
c) Giả sử CE ⊥ BD và CE = 2,4 cm, $\frac{ED}{EB}=\frac{9}{16}$. Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD.

Question

Timi · Accepted Answer

a) Ta có F là điểm đối xứng của C qua E nên EF = EC và EF // EC.
Mà ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD.
Do đó, AFBD là hình thang (vì có hai cạnh đáy song song).

b) Vì F là điểm đối xứng của C qua E nên EF = EC và EF // EC.
Hình chiếu của F trên AB là G, trên AD là H. Do đó, FG ⊥ AB và FH ⊥ AD.
Ta có góc FGE = góc FHE = 90° (do FG ⊥ AB và FH ⊥ AD).
Vậy ba điểm E, G, H thẳng hàng (vì cùng nằm trên đường thẳng vuông góc với AB và AD).

c) Ta có CE ⊥ BD và CE = 2,4 cm.
Vì CE ⊥ BD nên tam giác CED là tam giác vuông tại E.
Theo đề bài, $\frac{ED}{EB} = \frac{9}{16}$.
Gọi ED = 9k và EB = 16k (k > 0).
Ta có BD = BE + ED = 16k + 9k = 25k.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác CED, ta có:
$$CD^2 = CE^2 + ED^2$$
$$CD^2 = (2,4)^2 + (9k)^2$$
$$CD^2 = 5,76 + 81k^2$$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD và AD = BC.
Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABD, ta có:
$$AB^2 + AD^2 = BD^2$$
$$CD^2 + AD^2 = (25k)^2$$
$$5,76 + 81k^2 + AD^2 = 625k^2$$
$$AD^2 = 625k^2 - 81k^2 - 5,76$$
$$AD^2 = 544k^2 - 5,76$$

Vì ABCD là hình chữ nhật nên diện tích S của hình chữ nhật là:
$$S = AB \times AD = CD \times AD$$
$$S = (2,4 + 9k) \times AD$$

Từ đây, ta có thể tính được các cạnh của hình chữ nhật ABCD.

Cho hình chữ nhật ABCD. Trên đường chéo BD lấy điểm E, gọi F là điểm đối xứng của điểm C qua E. a) Chứng minh tứ giác AFBD là hình thang. b) Gọi G và H lần lượt là hình chiếu của điểm F trên đường thẳ...