Giúp mình với! 1) Xác định đa thức $f(x).$ Biết rằng đa thức $f(x)$ chia cho $x-2$ dư 11, chia cho $x+2$ $dư~-1,$ chia,cho $x^2-4$ được thương là 3x và còn dư.

Question

Accepted Answer

Để xác định đa thức $ f(x) $, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định dạng chia của $ f(x) $ cho $ x^2 - 4 $:
   Ta biết rằng $ f(x) $ chia cho $ x^2 - 4 $ được thương là $ 3x $ và còn dư. Do đó, ta có thể viết:
   $$
   f(x) = (x^2 - 4) \cdot 3x + R(x)
   $$
   Trong đó $ R(x) $ là đa thức dư có bậc nhỏ hơn 2 (vì $ x^2 - 4 $ là đa thức bậc 2). Vậy $ R(x) $ có dạng $ ax + b $.

2. Thay vào biểu thức:
   $$
   f(x) = 3x(x^2 - 4) + ax + b
   $$
   $$
   f(x) = 3x^3 - 12x + ax + b
   $$
   $$
   f(x) = 3x^3 + (a - 12)x + b
   $$

3. Áp dụng điều kiện chia cho $ x - 2 $ dư 11:
   Ta thay $ x = 2 $ vào $ f(x) $:
   $$
   f(2) = 3(2)^3 + (a - 12)(2) + b = 11
   $$
   $$
   24 + 2(a - 12) + b = 11
   $$
   $$
   24 + 2a - 24 + b = 11
   $$
   $$
   2a + b = 11 \quad \text{(1)}
   $$

4. Áp dụng điều kiện chia cho $ x + 2 $ dư -1:
   Ta thay $ x = -2 $ vào $ f(x) $:
   $$
   f(-2) = 3(-2)^3 + (a - 12)(-2) + b = -1
   $$
   $$
   -24 - 2(a - 12) + b = -1
   $$
   $$
   -24 - 2a + 24 + b = -1
   $$
   $$
   -2a + b = -1 \quad \text{(2)}
   $$

5. Giải hệ phương trình (1) và (2):
   Từ (1) và (2), ta có:
   $$
   2a + b = 11
   $$
   $$
   -2a + b = -1
   $$
   Cộng hai phương trình này lại:
   $$
   (2a + b) + (-2a + b) = 11 + (-1)
   $$
   $$
   2b = 10
   $$
   $$
   b = 5
   $$
   Thay $ b = 5 $ vào (1):
   $$
   2a + 5 = 11
   $$
   $$
   2a = 6
   $$
   $$
   a = 3
   $$

6. Xác định đa thức $ f(x) $:
   Thay $ a = 3 $ và $ b = 5 $ vào biểu thức $ f(x) $:
   $$
   f(x) = 3x^3 + (3 - 12)x + 5
   $$
   $$
   f(x) = 3x^3 - 9x + 5
   $$

Vậy đa thức $ f(x) $ là:
$$
f(x) = 3x^3 - 9x + 5
$$