hhhhhbbcnnfnf

Bài 1: 1) Tần số ghép nhóm của nhóm [160; 165) là 12. Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [160; 165) là: \[ \frac{12}{40} = 0,3 \] 2) Đĩa tròn được chia thành 8 phần bằng nhau, mỗi phần ghi một số từ 1 đến 8. Biến cố A là "Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số lớn hơn 3". Các số lớn hơn 3 là: 4, 5, 6, 7, 8. Số lượng các số này là 5. Xác suất của biến cố A là: \[ \frac{5}{8} \] Đáp số: 1) Tần số ghép nhóm của nhóm [160; 165) là 12. Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [160; 165) là 0,3. 2) Xác suất của biến cố A là $\frac{5}{8}$. Bài 2: a) Thay $x=9$ vào biểu thức $A$, ta được: \[ A = \frac{\sqrt{9} + 5}{2\sqrt{9} - 4} = \frac{3 + 5}{2 \cdot 3 - 4} = \frac{8}{6 - 4} = \frac{8}{2} = 4 \] b) Rút gọn biểu thức $B$: \[ B = \frac{x}{x-4} + \frac{1}{\sqrt{x}-2} + \frac{1}{\sqrt{x}+2} \] Tìm mẫu chung của các phân số: \[ B = \frac{x}{x-4} + \frac{\sqrt{x}+2 + \sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{x}{x-4} + \frac{2\sqrt{x}}{x-4} = \frac{x + 2\sqrt{x}}{x-4} \] c) Đặt $P = \frac{A}{B}$ và tìm giá trị của $x$ để $P > 1$: \[ P = \frac{\frac{\sqrt{x} + 5}{2\sqrt{x} - 4}}{\frac{x + 2\sqrt{x}}{x-4}} = \frac{(\sqrt{x} + 5)(x-4)}{(2\sqrt{x} - 4)(x + 2\sqrt{x})} \] Để $P > 1$, ta có: \[ \frac{(\sqrt{x} + 5)(x-4)}{(2\sqrt{x} - 4)(x + 2\sqrt{x})} > 1 \] \[ (\sqrt{x} + 5)(x-4) > (2\sqrt{x} - 4)(x + 2\sqrt{x}) \] Phát triển và rút gọn: \[ \sqrt{x} \cdot x - 4\sqrt{x} + 5x - 20 > 2\sqrt{x} \cdot x + 4x - 4\sqrt{x} - 8 \] \[ x\sqrt{x} - 4\sqrt{x} + 5x - 20 > 2x\sqrt{x} + 4x - 4\sqrt{x} - 8 \] \[ x\sqrt{x} + 5x - 20 > 2x\sqrt{x} + 4x - 8 \] \[ 5x - 20 > x\sqrt{x} + 4x - 8 \] \[ x - 12 > x\sqrt{x} \] \[ x - x\sqrt{x} > 12 \] \[ x(1 - \sqrt{x}) > 12 \] Do $x > 0$ và $x \neq 4$, ta thấy $1 - \sqrt{x} < 0$. Do đó, $x < 12$ và $x > 0$. Vậy giá trị của $x$ để $P > 1$ là $0 < x < 12$ và $x \neq 4$. Bài 3: Gọi số tiền cửa hàng vay từ ngân hàng A là x (triệu đồng, điều kiện: x > 0). Số tiền cửa hàng vay từ ngân hàng B là 600 - x (triệu đồng). Tiền lãi một năm phải trả cho ngân hàng A là: $\frac{x \times 8}{100} = \frac{8x}{100}$ (triệu đồng). Tiền lãi một năm phải trả cho ngân hàng B là: $\frac{(600 - x) \times 9}{100} = \frac{5400 - 9x}{100}$ (triệu đồng). Theo đề bài, tổng số tiền lãi một năm phải trả cho cả hai ngân hàng là 50 triệu đồng, ta có phương trình: $\frac{8x}{100} + \frac{5400 - 9x}{100} = 50$ $\frac{8x + 5400 - 9x}{100} = 50$ $\frac{-x + 5400}{100} = 50$ $-x + 5400 = 5000$ $x = 400$ Vậy số tiền cửa hàng vay từ ngân hàng A là 400 triệu đồng. Số tiền cửa hàng vay từ ngân hàng B là: 600 - 400 = 200 (triệu đồng). Đáp số: Ngân hàng A: 400 triệu đồng; Ngân hàng B: 200 triệu đồng. Bài 4: 1) Diện tích đáy của bồn nước hình trụ là: \[ S = \pi r^2 = 3,14 \times 5^2 = 3,14 \times 25 = 78,5 \text{ (dm}^2\text{)} \] Thể tích của bồn nước hình trụ là: \[ V = S \times h = 78,5 \times 17,5 = 1373,75 \text{ (dm}^3\text{)} \] Vì 1 dm³ = 1 lít, nên trong bồn chứa số lít nước là: \[ 1373,75 \text{ lít} \] 2) Phương trình \( x^2 - 2x - m + 1 = 0 \) có một nghiệm là \( x = 1 + \sqrt{7} \). Thay \( x = 1 + \sqrt{7} \) vào phương trình: \[ (1 + \sqrt{7})^2 - 2(1 + \sqrt{7}) - m + 1 = 0 \] \[ 1 + 2\sqrt{7} + 7 - 2 - 2\sqrt{7} - m + 1 = 0 \] \[ 7 - m = 0 \] \[ m = 7 \] Phương trình trở thành: \[ x^2 - 2x - 6 = 0 \] Các nghiệm của phương trình này là: \[ x_1 = 1 + \sqrt{7}, \quad x_2 = 1 - \sqrt{7} \] Giá trị của biểu thức \( A = x_1^2 x_2 + x_2^2 x_1 \): \[ A = x_1 x_2 (x_1 + x_2) \] Từ phương trình \( x^2 - 2x - 6 = 0 \), ta có: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 x_2 = -6 \] Do đó: \[ A = (-6) \times 2 = -12 \] Đáp số: 1) 1373,75 lít 2) \( A = -12 \) Bài 5: 1. Phương trình $2x^2+6x-1=0$ có $a=2$, $b=6$, $c=-1$. Ta có: - Đặt $\Delta = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 36 + 8 = 44$. - Vì $\Delta > 0$, nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$. Theo công thức Viète, ta có: - $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{6}{2} = -3$. - $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$. Ta cần tính giá trị biểu thức $A = (x_1 - x_2)^2 - x_1 - x_2$: - $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = (-3)^2 - 4 \left(-\frac{1}{2}\right) = 9 + 2 = 11$. - $A = 11 - (-3) = 11 + 3 = 14$. Vậy giá trị của biểu thức $A$ là 14. 2. a) Để đường thẳng $(d)$ và parabol $(P)$ cùng đi qua điểm có hoành độ $x = 2$, ta thay $x = 2$ vào phương trình của $(P)$ và $(d)$: - Trên parabol $(P)$: $y = 2^2 = 4$. - Trên đường thẳng $(d)$: $y = m \cdot 2 + 1 = 2m + 1$. Vì cả hai phương trình đều đi qua điểm này, nên ta có: - $2m + 1 = 4 \Rightarrow 2m = 3 \Rightarrow m = \frac{3}{2}$. Vậy $m = \frac{3}{2}$. b) Để chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$, ta thay phương trình $(d)$ vào phương trình $(P)$: - $x^2 = mx + 1 \Rightarrow x^2 - mx - 1 = 0$. Ta xét phương trình bậc hai $x^2 - mx - 1 = 0$: - Đặt $\Delta' = b^2 - 4ac = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = m^2 + 4$. - Vì $m^2 + 4 > 0$ với mọi $m$, nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi $x_1$ và $x_2$ là các nghiệm của phương trình, ta có: - $x_1 + x_2 = m$. - $x_1 \cdot x_2 = -1$. Ta cần tìm $m$ để $|x_1x_2| + |x_2| - |x_1|^2 = 1$: - $|x_1x_2| = |-1| = 1$. - $|x_2| = |x_2|$. - $|x_1|^2 = x_1^2$. Thay vào biểu thức, ta có: - $1 + |x_2| - x_1^2 = 1 \Rightarrow |x_2| - x_1^2 = 0 \Rightarrow |x_2| = x_1^2$. Vì $x_1 \cdot x_2 = -1$, nên $x_2 = -\frac{1}{x_1}$. Thay vào biểu thức trên, ta có: - $|-\frac{1}{x_1}| = x_1^2 \Rightarrow \frac{1}{|x_1|} = x_1^2 \Rightarrow |x_1| = \frac{1}{x_1^2}$. Điều này chỉ đúng khi $x_1 = 1$ hoặc $x_1 = -1$. Do đó, $x_2 = -1$ hoặc $x_2 = 1$. Từ đó, ta có: - $m = x_1 + x_2 = 1 + (-1) = 0$ hoặc $m = -1 + 1 = 0$. Vậy $m = 0$. Đáp số: 1. Giá trị của biểu thức $A$ là 14. 2. a) $m = \frac{3}{2}$. b) $m = 0$.