Ai Giúp mình với

Câu 1 1) Giải hệ phương trình $$ Ta có: $$ Nhân phương trình thứ hai với 2, ta được: $$ Trừ phương trình thứ hai từ phương trình thứ nhất, ta được: $$ $$ $$ Thay $$ vào phương trình $$, ta được: $$ $$ $$ Vậy nghiệm của hệ phương trình là $$. 2) Rút gọn biểu thức $$ với $$ và $$ Điều kiện xác định: $$ và $$. Ta có: $$ Rút gọn từng phần tử: $$ $$ $$ Do đó: $$ $$ $$ $$ $$ $$ $$ 3) Tìm m để đồ thị hàm số $$ (với $$ đi qua điểm $$ Thay tọa độ điểm $$ vào phương trình hàm số, ta được: $$ $$ $$ $$ Vậy giá trị của $$ là $$. Câu 2 1) Với $$, phương trình (1) trở thành: $$ $$ Phương trình này có dạng $$. Ta sử dụng công thức nghiệm để giải: $$ Ở đây, $$, $$, $$. Thay vào công thức nghiệm: $$ $$ $$ $$ Ta có hai nghiệm: $$ $$ Vậy nghiệm của phương trình là $$ hoặc $$. 2) Để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt $$ và $$ thỏa mãn $$, ta thực hiện các bước sau: - Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt: $$ $$ $$ $$ $$ Điều này đúng khi $$. - Tổng và tích của hai nghiệm: $$ $$ - Thay $$ vào phương trình: $$ Thay vào tổng nghiệm: $$ $$ $$ Thay vào tích nghiệm: $$ $$ Kết hợp hai phương trình trên: $$ $$ Ta thấy rằng $$ và $$ thỏa mãn: $$ $$ Kiểm tra lại: $$ $$ $$ Vậy giá trị của tham số $$ là $$. Câu 3 Gọi số bạn tặng 2 quyển sách là x (bạn, điều kiện: x ≥ 0) Số bạn tặng 4 quyển sách là 40 - x (bạn) Tổng số sách tặng được là: 2 x x + 4 x (40 - x) = 110 2x + 160 - 4x = 110 -2x = 110 - 160 -2x = -50 x = 25 Số bạn tặng 4 quyển sách là: 40 - 25 = 15 (bạn) Đáp số: 25 bạn tặng 2 quyển sách, 15 bạn tặng 4 quyển sách. Câu 4 1) Ta có $$. Vậy tứ giác ABHE nội tiếp (cùng chắn cung AB). 2) Ta có $$ (tứ giác ABHE nội tiếp) Mà $$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BD) Vậy $$ Từ đó ta có HE // CD (hai góc đồng vị bằng nhau) 3) Ta có $$ (hai góc đối đỉnh) Mà $$ (chứng minh ở phần trên) Vậy $$ Từ đó ta có HC = HF (tam giác HFC cân tại H) Ta lại có MB = MC (M là trung điểm của BC) Vậy ME = MF (khoảng cách từ một điểm đến hai cạnh của một góc bằng nhau). Câu 5 Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ với điều kiện $$, $$ và $$, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $$ Bước 2: Thay điều kiện $$ vào bất đẳng thức trên: $$ $$ $$ Bước 3: Xét dấu bằng trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Dấu bằng xảy ra khi $$, tức là $$. Bước 4: Thay $$ vào điều kiện $$: $$ $$ Do đó, $$ là giá trị thỏa mãn điều kiện và dấu bằng trong bất đẳng thức. Bước 5: Tính giá trị nhỏ nhất của $$: $$ Vậy giá trị nhỏ nhất của $$ là $$, đạt được khi $$. Đáp số: $$ khi $$.