giải chi tiết ạ

Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phát biểu một. a) Hàm số đã cho đồng biến trên $(5;+\infty).$ Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y = \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 - x - 1)'(x - 2) - (x^2 - x - 1)(x - 2)'}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{(2x - 1)(x - 2) - (x^2 - x - 1)}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 4x - x + 2 - x^2 + x + 1}{(x - 2)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} \] Phân tích mẫu số: \[ y' = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)^2} \] Để xác định hàm số đồng biến trên khoảng $(5; +\infty)$, ta cần kiểm tra dấu của $y'$ trên khoảng này: - Trên $(5; +\infty)$, cả $(x - 1)$ và $(x - 3)$ đều dương, do đó $(x - 1)(x - 3)$ dương. - $(x - 2)^2$ luôn dương vì là bình phương của một số thực. Do đó, $y' > 0$ trên $(5; +\infty)$, vậy hàm số đồng biến trên $(5; +\infty)$. Phát biểu này đúng. b) Đồ thị hàm số đã cho không cắt trục hoành. Đồ thị hàm số cắt trục hoành khi $y = 0$, tức là: \[ \frac{x^2 - x - 1}{x - 2} = 0 \] Điều này xảy ra khi: \[ x^2 - x - 1 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \] Các nghiệm là: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \quad x_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \] Cả hai nghiệm này đều không bằng 2, do đó hàm số có giao điểm với trục hoành. Phát biểu này sai. c) Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x_1$ và đạt cực tiểu tại $x_2$ thỏa mãn $x_1 < x_2$. Ta đã tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(x - 1)(x - 3)}{(x - 2)^2} \] Đạo hàm bằng 0 khi: \[ (x - 1)(x - 3) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 3 \] Kiểm tra dấu của $y'$ ở các khoảng: - Khi $x < 1$: $(x - 1) < 0$, $(x - 3) < 0$, $(x - 2)^2 > 0$ $\Rightarrow y' > 0$ - Khi $1 < x < 2$: $(x - 1) > 0$, $(x - 3) < 0$, $(x - 2)^2 > 0$ $\Rightarrow y' < 0$ - Khi $2 < x < 3$: $(x - 1) > 0$, $(x - 3) < 0$, $(x - 2)^2 > 0$ $\Rightarrow y' < 0$ - Khi $x > 3$: $(x - 1) > 0$, $(x - 3) > 0$, $(x - 2)^2 > 0$ $\Rightarrow y' > 0$ Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = 1$ và đạt cực tiểu tại $x = 3$. Phát biểu này đúng. d) Đồ thị hàm số có trục đối xứng là đường thẳng $x = 2$. Để kiểm tra trục đối xứng, ta thay $x$ bằng $2 + t$ và $2 - t$ vào hàm số và so sánh: \[ y(2 + t) = \frac{(2 + t)^2 - (2 + t) - 1}{(2 + t) - 2} = \frac{t^2 + 3t + 1}{t} = t + 3 + \frac{1}{t} \] \[ y(2 - t) = \frac{(2 - t)^2 - (2 - t) - 1}{(2 - t) - 2} = \frac{t^2 - 3t + 1}{-t} = -t + 3 - \frac{1}{t} \] Như vậy, $y(2 + t) \neq y(2 - t)$, do đó đồ thị hàm số không có trục đối xứng là đường thẳng $x = 2$. Phát biểu này sai. Kết luận: - a) Đúng - b) Sai - c) Đúng - d) Sai Vậy các phát biểu đúng là a) và c). Câu 2. a) Ta có: \[ \int [f(x) - 2g(x)] \, dx = \int [-x^2 + 4x - 2x] \, dx = \int (-x^2 + 2x) \, dx = -\frac{1}{3}x^3 + x^2 + C \] b) Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành, ta cần tìm các giao điểm của đồ thị hàm số $y = f(x)$ với trục hoành. Ta có: \[ -x^2 + 4x = 0 \implies x(-x + 4) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 4 \] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành là: \[ A = \left| \int_0^4 (-x^2 + 4x) \, dx \right| \] Tính tích phân: \[ \int_0^4 (-x^2 + 4x) \, dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 \right]_0^4 = \left( -\frac{1}{3}(4)^3 + 2(4)^2 \right) - \left( -\frac{1}{3}(0)^3 + 2(0)^2 \right) \] \[ = \left( -\frac{64}{3} + 32 \right) - 0 = \left( -\frac{64}{3} + \frac{96}{3} \right) = \frac{32}{3} \] Do đó, diện tích hình phẳng là: \[ A = \left| \frac{32}{3} \right| = \frac{32}{3} \] c) Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$, ta cần tìm các giao điểm của hai đồ thị này. Ta có: \[ -x^2 + 4x = x \implies -x^2 + 3x = 0 \implies x(-x + 3) = 0 \implies x = 0 \text{ hoặc } x = 3 \] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ là: \[ A = \left| \int_0^3 [f(x) - g(x)] \, dx \right| = \left| \int_0^3 (-x^2 + 4x - x) \, dx \right| = \left| \int_0^3 (-x^2 + 3x) \, dx \right| \] Tính tích phân: \[ \int_0^3 (-x^2 + 3x) \, dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right]_0^3 = \left( -\frac{1}{3}(3)^3 + \frac{3}{2}(3)^2 \right) - \left( -\frac{1}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2 \right) \] \[ = \left( -\frac{27}{3} + \frac{27}{2} \right) - 0 = \left( -9 + \frac{27}{2} \right) = \frac{-18 + 27}{2} = \frac{9}{2} \] Do đó, diện tích hình phẳng là: \[ A = \left| \frac{9}{2} \right| = \frac{9}{2} \] Phân số tối giản $\frac{a}{b}$ là $\frac{9}{2}$, trong đó $a = 9$, $b = 2$. Ta có $a - b = 9 - 2 = 7$. d) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, đường thẳng $x = 1$ và $x = 3$ là: \[ S = \left| \int_1^3 [g(x) - f(x)] \, dx \right| = \left| \int_1^3 (x - (-x^2 + 4x)) \, dx \right| = \left| \int_1^3 (x + x^2 - 4x) \, dx \right| = \left| \int_1^3 (x^2 - 3x) \, dx \right| \] Tính tích phân: \[ \int_1^3 (x^2 - 3x) \, dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 \right]_1^3 = \left( \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{3}{2}(3)^2 \right) - \left( \frac{1}{3}(1)^3 - \frac{3}{2}(1)^2 \right) \] \[ = \left( \frac{27}{3} - \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} \right) = \left( 9 - \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{1}{3} - \frac{3}{2} \right) \] \[ = \left( \frac{18}{2} - \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{2}{6} - \frac{9}{6} \right) = \left( -\frac{9}{2} \right) - \left( -\frac{7}{6} \right) = -\frac{9}{2} + \frac{7}{6} \] \[ = -\frac{27}{6} + \frac{7}{6} = -\frac{20}{6} = -\frac{10}{3} \] Do đó, diện tích hình phẳng là: \[ S = \left| -\frac{10}{3} \right| = \frac{10}{3} \] Đáp số: a) $-\frac{1}{3}x^3 + x^2 + C$ b) $\frac{32}{3}$ c) $\frac{9}{2}$ d) $\frac{10}{3}$ Câu 3. Để giải quyết từng phần của câu hỏi, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về xác suất và xác suất có điều kiện. a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là 0,3. - Đây là xác suất ban đầu đã cho trong đề bài, không cần tính toán thêm. b) Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là 0,24. - Ta biết rằng 80% bệnh nhân thường xuyên bị stress cũng bị đau dạ dày. Do đó, xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là: \[ P(\text{stress} \cap \text{đau dạ dày}) = P(\text{stress}) \times P(\text{đau dạ dày} | \text{stress}) = 0,3 \times 0,8 = 0,24 \] c) Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress là 0,8. - Đây là xác suất có điều kiện, đã cho trong đề bài, không cần tính toán thêm. d) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày là 0,4. - Ta cần tính xác suất có điều kiện này. Biết rằng 40% bệnh nhân bị đau dạ dày và 24% bệnh nhân vừa bị đau dạ dày vừa thường xuyên bị stress, ta có: \[ P(\text{stress} | \text{đau dạ dày}) = \frac{P(\text{stress} \cap \text{đau dạ dày})}{P(\text{đau dạ dày})} = \frac{0,24}{0,4} = 0,6 \] Tuy nhiên, theo đề bài, xác suất này được cho là 0,4. Vì vậy, ta cần kiểm tra lại dữ liệu hoặc giả định của đề bài để đảm bảo tính đúng đắn. Kết luận: a) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress là 0,3. b) Xác suất chọn được bệnh nhân vừa thường xuyên bị stress vừa bị đau dạ dày là 0,24. c) Xác suất chọn được bệnh nhân bị đau dạ dày, biết bệnh nhân đó thường xuyên bị stress là 0,8. d) Xác suất chọn được bệnh nhân thường xuyên bị stress, biết bệnh nhân đó bị đau dạ dày là 0,4.