gdjbwhshshwj

Câu 14. a) Phương trình $f^\prime(x)=0$ có ba nghiệm phân biệt là $x=-3$, $x=0$, $x=1$. Vậy phát biểu này sai. b) Đạo hàm $f^\prime(x)$ dương trên khoảng $(-1;1)$, do đó hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng này. Vậy phát biểu này sai. c) Đạo hàm $f^\prime(x)$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=-3$, do đó hàm số $y=f(x)$ có cực tiểu tại $x=-3$. Vậy phát biểu này sai. d) Xét hàm số $g(x)=f(1-x^2)$. Ta có: - $g(2025)=f(1-2025^2)=f(-2025^2+1)$ - $g(2026)=f(1-2026^2)=f(-2026^2+1)$ Do $-2025^2+1 > -2026^2+1$, ta xét dấu của đạo hàm $f^\prime(x)$ trên khoảng $(-\infty, -3)$: - Trên khoảng $(-\infty, -3)$, đạo hàm $f^\prime(x)$ dương, tức là hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng này. Vì $-2025^2+1 > -2026^2+1$ và hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty, -3)$, nên ta có $f(-2025^2+1) > f(-2026^2+1)$, tức là $g(2025) > g(2026)$. Vậy phát biểu này đúng. Đáp án đúng là: d) Nếu $g(x)=f(1-x^2)$ thì $g(2025)< g(2026)$. Câu 15. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a) Tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 1 + \frac{1}{x} \). \[ \int f(x) \, dx = \int \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \, dx = \int 1 \, dx + \int \frac{1}{x} \, dx = x + \ln |x| + C \] Vậy, nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ \int f(x) \, dx = x + \ln |x| + C \] Phần b) Nếu \( F(x) \) là một nguyên hàm của \( f(x) \) và \( F(1) = 0 \), chúng ta cần tìm \( F(2) \). Ta đã biết: \[ F(x) = x + \ln |x| + C \] Áp dụng điều kiện \( F(1) = 0 \): \[ F(1) = 1 + \ln |1| + C = 1 + 0 + C = 1 + C = 0 \implies C = -1 \] Vậy, \( F(x) = x + \ln |x| - 1 \). Bây giờ, tính \( F(2) \): \[ F(2) = 2 + \ln |2| - 1 = 1 + \ln 2 \] Phần c) Diện tích hình phẳng \( H_1 \) giới hạn bởi đồ thị \( (C) \), đồ thị \( (d) \), và các đường \( x = 1 \) và \( x = 4 \). Diện tích \( S_1 \) là: \[ S_1 = \int_{1}^{4} \left[ f(x) - g(x) \right] \, dx = \int_{1}^{4} \left( 1 + \frac{1}{x} - \left( -\frac{1}{4}x + \frac{9}{4} \right) \right) \, dx \] \[ = \int_{1}^{4} \left( 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{4}x - \frac{9}{4} \right) \, dx = \int_{1}^{4} \left( \frac{1}{4}x + \frac{1}{x} - \frac{5}{4} \right) \, dx \] \[ = \left[ \frac{1}{8}x^2 + \ln |x| - \frac{5}{4}x \right]_{1}^{4} \] \[ = \left( \frac{1}{8}(4)^2 + \ln 4 - \frac{5}{4}(4) \right) - \left( \frac{1}{8}(1)^2 + \ln 1 - \frac{5}{4}(1) \right) \] \[ = \left( 2 + \ln 4 - 5 \right) - \left( \frac{1}{8} + 0 - \frac{5}{4} \right) \] \[ = \left( -3 + \ln 4 \right) - \left( \frac{1}{8} - \frac{10}{8} \right) \] \[ = -3 + \ln 4 + \frac{9}{8} \] \[ = \frac{-24}{8} + \frac{9}{8} + \ln 4 = \frac{-15}{8} + \ln 4 \] \[ = \frac{15}{8} - \ln 4 \] Phần d) Diện tích hình phẳng \( H_2 \) giới hạn bởi đồ thị \( (C) \), trục hoành và các đường \( x = 1 \) và \( x = 4 \). Diện tích \( S_2 \) là: \[ S_2 = \int_{1}^{4} f(x) \, dx = \int_{1}^{4} \left( 1 + \frac{1}{x} \right) \, dx \] \[ = \left[ x + \ln |x| \right]_{1}^{4} \] \[ = \left( 4 + \ln 4 \right) - \left( 1 + \ln 1 \right) \] \[ = 4 + \ln 4 - 1 \] \[ = 3 + \ln 4 \] Tỉ số diện tích \( \frac{S_1}{S_2} \) là: \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{15}{8} - \ln 4}{3 + \ln 4} \] Để kiểm tra tỉ số này, ta thấy rằng: \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{\frac{15}{8} - \ln 4}{3 + \ln 4} = \frac{15 - 8 \ln 4}{24 + 8 \ln 4} = \frac{15 - 8 \ln 4}{24 + 8 \ln 4} = \frac{5}{8} \] Vậy, tỉ số diện tích là: \[ \frac{S_1}{S_2} = \frac{5}{8} \] Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{\frac{5}{8}} \]