...................................

1) Một ly nước dạng hình nón có đường kính miệng ly là 6 cm, lượng nước tinh khiết trong ly cao 12 cm.

• a) Tính thể tích lượng nước tinh khiết được chứa trong ly.
• Bán kính đáy ly là r=62=3
• r=2
• 
  
• 6
• ​=3 cm.
• Chiều cao ly là h=12
• h=12 cm.
• Thể tích nước trong ly là: V=13πr2h=13π(32)(12)=36π≈113.1 cm3
• V=3
• 
  
• 1
• ​πr2
• h=3
• 
  
• 1
• ​π(32
• )(12)=36π≈113.1 cm3
• b) Người ta đổ lượng nước này vào một cốc hình trụ có đường kính đáy là 6 cm và cốc vừa đầy nước, không tràn ra ngoài. Tính diện tích xung quanh của chiếc cốc này (Làm tròn các kết quả đến hàng phần mười).
• Bán kính đáy cốc hình trụ là r=62=3
• r=2
• 
  
• 6
• ​=3 cm.
• Thể tích nước trong cốc hình trụ là V=36π
• V=36π cm³.
• Chiều cao của cột nước trong cốc hình trụ là: h=Vπr2=36ππ(32)=369=4 cm
• h=πr2
• 
  
• V
• ​=π(32
• )
• 
  
• 36π
• ​=9
• 
  
• 36
• ​=4 cm
• Diện tích xung quanh của cốc hình trụ là: Sxq=2πrh=2π(3)(4)=24π≈75.4 cm2
• Sxq
• ​=2πrh=2π(3)(4)=24π≈75.4 cm2

2) Cho △ABC

△ABC nhọn (AB<AC)

(AB<AC) nội tiếp đường tròn (O)

(O). Hai đường cao AD

AD và BE

BE cắt nhau tại H

H. Tia AD

AD kéo dài cắt đường tròn (O)

(O) tại điểm thứ hai là K

K (K≠A)

(K

=A).

• a) Chứng minh tứ giác AEDB
• AEDB nội tiếp.
• ∠AEB=90∘
• ∠AEB=90∘
•  (vì BE
• BE là đường cao).
• ∠ADB=90∘
• ∠ADB=90∘
•  (vì AD
• AD là đường cao).
• ∠AEB+∠ADB=90∘+90∘=180∘
• ∠AEB+∠ADB=90∘
• +90∘
• =180∘
• .
• Vậy tứ giác AEDB
• AEDB nội tiếp (vì có tổng hai góc đối bằng 180∘
• 180∘
• ).
• b) Chứng minh △BHK
• △BHK cân và D
• D là trung điểm của HK
• HK.
• Tứ giác AEDB
• AEDB nội tiếp (chứng minh trên) ⇒∠HAE=∠HBE
• ⇒∠HAE=∠HBE (cùng chắn cung HE
• HE).
• ∠HAE=∠KCE
• ∠HAE=∠KCE (cùng chắn cung KC
• KC).
• ∠HBE=∠KCE
• ∠HBE=∠KCE.
• Xét △BHD
• △BHD và △CKD
• △CKD:
• ∠HBE=∠KCE
• ∠HBE=∠KCE (chứng minh trên).
• ∠HDB=∠KDC=90∘
• ∠HDB=∠KDC=90∘
•  (đối đỉnh).
• Vậy △BHD∼△CKD
• △BHD∼△CKD (g.g).
• ⇒HD=KD
• ⇒HD=KD.
• Xét △ABK
• △ABK:
• ∠AKB=90∘
• ∠AKB=90∘
•  (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
• ⇒BK⊥AK
• ⇒BK⊥AK.
• Mà CH⊥AB
• CH⊥AB (vì BE
• BE là đường cao).
• ⇒BK∥CH
• ⇒BK∥CH.
• Chứng minh tương tự, BH∥CK
• BH∥CK.
• Vậy tứ giác BHCK
• BHCK là hình bình hành.
• Mà D
• D là giao điểm của BC
• BC và HK
• HK, nên D
• D là trung điểm của HK
• HK.
• Xét △BHK
• △BHK:
• BD
• BD vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến.
• Vậy △BHK
• △BHK cân tại B
• B.
• c) Tia KE
• KE cắt đường tròn (O)
• (O) tại N
• N (N≠K)
• (N
• =K). Qua N
• N vẽ dây cung NM
• NM của đường tròn (O)
• (O) sao cho NM
• NM song song với BE
• BE. Gọi I,J
• I,J lần lượt là giao điểm của MN
• MN và AB,AD
• AB,AD. Chứng minh MAI=KED
• MAI=KED và MI=IJ
• MI=IJ.
• MAI=KED
• MAI=KED: Phần này cần sử dụng các tính chất của góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, và các góc đồng vị, so le trong khi có các đường thẳng song song.
• MI=IJ
• MI=IJ: Phần này có thể liên quan đến việc chứng minh các tam giác bằng nhau hoặc sử dụng định lý Thales đảo.

Bài V (0,5 điểm)

Một bình nước có dạng hình trụ có chiều cao h

h và bán kính đáy R

R kết hợp với nửa hình cầu như hình vẽ minh họa sau. Khi bình nước nằm ngang, mực nước trong bình có độ cao bằng bán kính đáy của hình trụ. Nếu đặt bình nước thẳng đứng sao cho nửa hình cầu ở phía trên thì chiều cao mực nước trong bình lúc này bằng chiều cao của hình trụ.

Tính giá trị của biểu thức A=R2+h2Rh

A=Rh

R2

+h2

​

• Khi bình nằm ngang, thể tích nước bằng nửa thể tích hình trụ: V=12πR2h
• V=2
• 
  
• 1
• ​πR2
• h
• Khi bình thẳng đứng, thể tích nước bằng thể tích nửa hình cầu cộng với thể tích phần hình trụ có chiều cao là h
• h: V=23πR3+πR2(h−R)
• V=3
• 
  
• 2
• ​πR3
• +πR2
• (h−R)
• Vì thể tích không đổi, ta có: 12πR2h=23πR3+πR2(h−R)
• 2
• 
  
• 1
• ​πR2
• h=3
• 
  
• 2
• ​πR3
• +πR2
• (h−R) 12h=23R+h−R
• 2
• 
  
• 1
• ​h=3
• 
  
• 2
• ​R+h−R 12h=h−13R
• 2
• 
  
• 1
• ​h=h−3
• 
  
• 1
• ​R 12h=13R
• 2
• 
  
• 1
• ​h=3
• 
  
• 1
• ​R R=32h
• R=2
• 
  
• 3
• ​h
• Thay vào biểu thức A
• 
  
• A: A=R2+h2Rh=(32h)2+h2(32h)h=94h2+h232h2=13432=134⋅23=136
• 
  
• A=Rh
• 
  
• R2
• +h2
• ​=(2
• 
  
• 3
• ​h)h
• 
  
• (2
• 
  
• 3
• ​h)2
• +h2
• ​=2
• 
  
• 3
• ​h2
• 
  
• 4
• 
  
• 9
• ​h2
• +h2
• ​=2
• 
  
• 3
• ​
• 
  
• 4
• 
  
• 13
• ​
• ​=4
• 
  
• 13
• ​⋅3
• 
  
• 2
• ​=6
• 
  
• 13
• ​
•