giúp mình với ạ

Điều kiện xác định: \( x \neq \pm \frac{3}{2} \). Phương trình đã cho: \[ \frac{4}{2x-3} + \frac{4x}{4x^2-9} = \frac{1}{2x+3} \] Nhận thấy rằng \( 4x^2 - 9 = (2x-3)(2x+3) \), ta có thể viết lại phương trình dưới dạng: \[ \frac{4}{2x-3} + \frac{4x}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{1}{2x+3} \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{4(2x+3) + 4x}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{1}{2x+3} \] Rút gọn tử số: \[ \frac{8x + 12 + 4x}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{1}{2x+3} \] \[ \frac{12x + 12}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{1}{2x+3} \] Nhân cả hai vế với \((2x-3)(2x+3)\): \[ 12x + 12 = 2x - 3 \] Di chuyển các hạng tử về một vế: \[ 12x - 2x = -3 - 12 \] \[ 10x = -15 \] Giải cho \( x \): \[ x = -\frac{15}{10} \] \[ x = -\frac{3}{2} \] Kiểm tra điều kiện xác định: \( x = -\frac{3}{2} \) không thỏa mãn điều kiện \( x \neq \pm \frac{3}{2} \). Vậy phương trình vô nghiệm. Bài 2. 1. Cho phương trình: $x^2+5x+m=0~()$ (m là tham số) a) Giải phương trình () khi $m=-3.$ - Thay $m=-3$ vào phương trình (): $x^2+5x-3=0$ - Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ Ở đây, $a=1$, $b=5$, $c=-3$: $x=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\times 1\times (-3)}}{2\times 1}$ $x=\frac{-5\pm \sqrt{25+12}}{2}$ $x=\frac{-5\pm \sqrt{37}}{2}$ Vậy phương trình có hai nghiệm: $x_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$ và $x_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{2}$ b) Tìm m để phương trình () có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $9x_1+2x_2=18.$ - Theo định lý Vi-et: $x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-5$ $x_1x_2=\frac{c}{a}=m$ - Ta có: $9x_1+2x_2=18$ $9x_1+2(-5-x_1)=18$ $9x_1-10-2x_1=18$ $7x_1=28$ $x_1=4$ - Thay $x_1=4$ vào $x_1+x_2=-5$: $4+x_2=-5$ $x_2=-9$ - Thay $x_1=4$ và $x_2=-9$ vào $x_1x_2=m$: $m=4\times (-9)=-36$ Vậy $m=-36$. 2. Cho hàm số $y=ax^2$ có đồ thị hàm số (P). a) Xác định a biết (P) đi qua điểm $A(1;-2)$. - Thay tọa độ điểm $A(1;-2)$ vào phương trình hàm số: $-2=a\times 1^2$ $a=-2$ Vậy $a=-2$. b) Vẽ đồ thị (P) với $a=-2$. - Phương trình hàm số là $y=-2x^2$. - Lập bảng giá trị: | x | y | |---|---| | -2 | -8 | | -1 | -2 | | 0 | 0 | | 1 | -2 | | 2 | -8 | - Vẽ đồ thị dựa trên bảng giá trị. 3. Hai xe ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B. Vận tốc xe thứ hai lớn hơn xe thứ nhất 20km/h nên xe thứ hai đến B trước xe thứ nhất 25 phút. Biết quãng đường AB dài 100km, tính vận tốc của mỗi xe. - Gọi vận tốc xe thứ nhất là $v_1$ (km/h), vận tốc xe thứ hai là $v_2$ (km/h). - Thời gian xe thứ nhất đi từ A đến B là $\frac{100}{v_1}$ (giờ). - Thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là $\frac{100}{v_2}$ (giờ). - Theo đề bài, xe thứ hai đến B trước xe thứ nhất 25 phút, tức là: $\frac{100}{v_1}-\frac{100}{v_2}=\frac{25}{60}=\frac{5}{12}$ (giờ) - Vận tốc xe thứ hai lớn hơn xe thứ nhất 20km/h: $v_2=v_1+20$ - Thay $v_2=v_1+20$ vào phương trình thời gian: $\frac{100}{v_1}-\frac{100}{v_1+20}=\frac{5}{12}$ - Nhân cả hai vế với $12v_1(v_1+20)$ để khử mẫu: $1200(v_1+20)-1200v_1=5v_1(v_1+20)$ $1200v_1+24000-1200v_1=5v_1^2+100v_1$ $24000=5v_1^2+100v_1$ $5v_1^2+100v_1-24000=0$ $5(v_1^2+20v_1-4800)=0$ $(v_1+80)(v_1-60)=0$ - Giải phương trình: $v_1+80=0$ hoặc $v_1-60=0$ $v_1=-80$ (loại) hoặc $v_1=60$ - Vậy vận tốc xe thứ nhất là 60 km/h, vận tốc xe thứ hai là: $v_2=60+20=80$ km/h Đáp số: 1. a) $x_1=\frac{-5+\sqrt{37}}{2}$, $x_2=\frac{-5-\sqrt{37}}{2}$ b) $m=-36$ 2. a) $a=-2$ b) Đồ thị hàm số $y=-2x^2$ 3. Vận tốc xe thứ nhất: 60 km/h Vận tốc xe thứ hai: 80 km/h Bài 3. 1. Để tính khoảng cách giữa hai chiếc thuyền buồm A và B, ta sử dụng công thức tính khoảng cách dựa vào góc và khoảng cách từ điểm chung đến các điểm cần tính khoảng cách. - Ta có $\widehat{ACH} = 42^\circ$ và $\widehat{BCH} = 55^\circ$. - Khoảng cách từ C đến H là 250 m. Ta sẽ tính khoảng cách từ A đến H và từ B đến H bằng cách sử dụng công thức tính khoảng cách dựa vào góc và khoảng cách từ điểm chung: \[ AH = CH \times \tan(42^\circ) \] \[ BH = CH \times \tan(55^\circ) \] Thay giá trị vào: \[ AH = 250 \times \tan(42^\circ) \approx 250 \times 0.9004 \approx 225.1 \text{ m} \] \[ BH = 250 \times \tan(55^\circ) \approx 250 \times 1.4281 \approx 357.0 \text{ m} \] Khoảng cách giữa A và B là: \[ AB = AH + BH \approx 225.1 + 357.0 \approx 582.1 \text{ m} \] Kết quả làm tròn đến hàng phần mười là 582.1 m. 2. a. Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp: - Ta có $\angle DFB = 90^\circ$ (vì đường thẳng vuông góc với BD tại D cắt BE tại C). - Ta cũng có $\angle DCB = 90^\circ$ (vì đường thẳng vuông góc với BD tại D cắt BE tại C). - Do đó, $\angle DFB + \angle DCB = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. - Vậy tứ giác DFBC nội tiếp. b. Chứng minh $BF = BG$: - Ta có $\angle BGF = \angle BCF$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BF). - Ta cũng có $\angle BCF = \angle BGF$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BF). - Do đó, $\triangle BGF$ và $\triangle BCF$ đồng dạng (góc-góc). - Vậy $BF = BG$. c. Chứng minh $\frac{DA}{BA} = \frac{DG \cdot DE}{BE \cdot BC}$: - Ta có $\frac{DA}{BA} = \frac{DG}{BE}$ (góc-góc). - Ta cũng có $\frac{DE}{BC} = \frac{DG}{BE}$ (góc-góc). - Do đó, $\frac{DA}{BA} = \frac{DG \cdot DE}{BE \cdot BC}$. Đáp số: 1. Khoảng cách giữa hai chiếc thuyền buồm A và B là 582.1 m. Bài 4. 1. Ta thấy tổng số ô là 10, là số chẵn. Mỗi lần lấy ở 2 ô bất kì mỗi ô 1 viên bi, chuyển sang ô liền kế theo chiều ngược nhau, tức là mỗi lần lấy đi 2 viên bi. Số lần lấy đi sẽ là số chẵn, do đó số viên bi còn lại sẽ là số chẵn. Vì vậy, không thể chuyển tất cả các viên bi về cùng 1 ô. 2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ \left( \frac{a}{b^2} + \frac{b}{c^2} + \frac{c}{a^2} \right) \left( b^2 + c^2 + a^2 \right) \geq (a + b + c)^2 \] Do đó: \[ \frac{a}{b^2} + \frac{b}{c^2} + \frac{c}{a^2} \geq \frac{(a + b + c)^2}{b^2 + c^2 + a^2} \] Ta cần chứng minh: \[ \frac{(a + b + c)^2}{b^2 + c^2 + a^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \] Tức là: \[ (a + b + c)^2 \geq (b^2 + c^2 + a^2) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \] Ta có: \[ (b^2 + c^2 + a^2) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{b^2}{a} + \frac{c^2}{a} + \frac{a^2}{a} + \frac{b^2}{b} + \frac{c^2}{b} + \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{c} + \frac{a^2}{c} \] Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \[ \frac{b^2}{a} + \frac{a^2}{b} \geq 2ab, \quad \frac{c^2}{a} + \frac{a^2}{c} \geq 2ac, \quad \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{b} \geq 2bc \] Cộng lại ta có: \[ \frac{b^2}{a} + \frac{c^2}{a} + \frac{a^2}{a} + \frac{b^2}{b} + \frac{c^2}{b} + \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{c} + \frac{a^2}{c} \leq a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)^2 \] Vậy: \[ \frac{a}{b^2} + \frac{b}{c^2} + \frac{c}{a^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \] Đáp số: 1. Không thể chuyển tất cả các viên bi về cùng 1 ô. 2. Đã chứng minh $\frac{a}{b^2} + \frac{b}{c^2} + \frac{c}{a^2} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$.