Với x, y là hai số thực dương thay đổi thoả mãn điều kiện xy = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = $\frac{2\left(x^3+y^3\right)}{\left(x^4+y^2\right)\left(x^2+y^4\right)}$

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = \frac{2(x^3 + y^3)}{(x^4 + y^2)(x^2 + y^4)} \) với điều kiện \( xy = 1 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Áp dụng điều kiện \( xy = 1 \) - Ta có \( y = \frac{1}{x} \). Bước 2: Thay \( y = \frac{1}{x} \) vào biểu thức \( P \): \[ P = \frac{2(x^3 + (\frac{1}{x})^3)}{(x^4 + (\frac{1}{x})^2)(x^2 + (\frac{1}{x})^4)} \] \[ P = \frac{2(x^3 + \frac{1}{x^3})}{(x^4 + \frac{1}{x^2})(x^2 + \frac{1}{x^4})} \] Bước 3: Nhân cả tử và mẫu với \( x^6 \) để loại bỏ các phân số: \[ P = \frac{2(x^6 + 1)}{(x^6 + x^2)(x^6 + 1)} \] \[ P = \frac{2(x^6 + 1)}{x^{12} + x^8 + x^2 + 1} \] Bước 4: Xét biểu thức \( x^{12} + x^8 + x^2 + 1 \): - Ta thấy rằng \( x^{12} + x^8 + x^2 + 1 \geq x^6 + 1 \) vì \( x^{12} + x^8 + x^2 \geq x^6 \). Bước 5: Do đó, biểu thức \( P \) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \( x^{12} + x^8 + x^2 + 1 \) nhỏ nhất, tức là khi \( x = 1 \): - Khi \( x = 1 \), ta có \( y = 1 \). Bước 6: Thay \( x = 1 \) và \( y = 1 \) vào biểu thức \( P \): \[ P = \frac{2(1^3 + 1^3)}{(1^4 + 1^2)(1^2 + 1^4)} \] \[ P = \frac{2(1 + 1)}{(1 + 1)(1 + 1)} \] \[ P = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 2} \] \[ P = 1 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( P \) là 1, đạt được khi \( x = 1 \) và \( y = 1 \).