Ghdyvdjcdhcsgvxhb Câu 1. Một bể lọc nước đang được cấp nước từ một nguồn đầu vào với lưu lượng thay đổi theo,thời gian. Lưu lượng nước chảy vào bể tại thời điểm r (tính bằng giờ) được cho bởi hàm số,$f(t)=4t-0,2t^3~(0\leq t\leq10).$ trong đó / (t)tính bằng lít/giờ, thời điểm đầu tiênbbể lọc chưa có,nước. Gọi P'(t) là thể tích nước đã chảy vào bể lọc sau 1 giờ (đơn vị: lít).,$a)~P(t)=2t^2-\frac{t^2}{15}.$ với $t\geq0.$,b) Lưu lượng nước vào bể đạt cực đại ở thời điểm $I=12(gio)$,c) Giả sử bể lọc lắp thêm hệ thống lọc trong bể thoát nước ra ngoài với lưu lượng không đổi là,3 lít/giờ. Sau 10 giờ, thể tích nước thực tế còn lại trong bể (làm trôn kết quả đến hàng thập phân),là 103,3 lít.,d) Tại thời điểm (giờ), bể lọc chứa 16 lít nước.,$t=3(gio).$,Câu 2. Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm.,Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm A cách mặt đất 10m, cách điểm,xuất phát 6m về phía bắc và 4m về phía đông. Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm B cách mặt đất,11m, cách điểm xuất phát 7m về phía nam và 3m về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O,đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (coi như phẳng) có,trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục O: hướng thẳng đứng lên trời,(đơn vị đo trên mỗi trục là mét). Khi đó:,a) Tọa độ của điểm $B(7,3,1)$,b) Đường thẳng AB tạo với mặt đất một góc bằng 4' (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).,c) Giả sử trên mặt đất người ta đặt một thiết bị phá sóng flycam tại điểm 1(50;35;0) có phạm,vi phá sóng 60m . Khi đó, chiếc flycam ở vị trí điểm A không bị phá sóng còn chiếc flycam ở vị,trí điểm B bị phá sóng.,d) Phương trình đường thẳng đi qua vị trí của hai chiếc flycam tại A và B là $\left\{\begin{array}{l}x=-6+13x\y=4-7x\z=10+t\end{array} ight.$

Question

Ghdyvdjcdhcsgvxhb Câu 1. Một bể lọc nước đang được cấp nước từ một nguồn đầu vào với lưu lượng thay đổi theo,thời gian. Lưu lượng nước chảy vào bể tại thời điểm r (tính bằng giờ) được cho bởi hàm số,$f(t)=4t-0,2t^3~(0\leq t\leq10).$ trong đó / (t)tính bằng lít/giờ, thời điểm đầu tiênbbể lọc chưa có,nước. Gọi P&#x27;(t) là thể tích nước đã chảy vào bể lọc sau 1 giờ (đơn vị: lít).,$a)~P(t)=2t^2-\frac{t^2}{15}.$ với $t\geq0.$,b) Lưu lượng nước vào bể đạt cực đại ở thời điểm $I=12(gio)$,c) Giả sử bể lọc lắp thêm hệ thống lọc trong bể thoát nước ra ngoài với lưu lượng không đổi là,3 lít/giờ. Sau 10 giờ, thể tích nước thực tế còn lại trong bể (làm trôn kết quả đến hàng thập phân),là 103,3 lít.,d) Tại thời điểm (giờ), bể lọc chứa 16 lít nước.,$t=3(gio).$,Câu 2. Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm.,Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm A cách mặt đất 10m, cách điểm,xuất phát 6m về phía bắc và 4m về phía đông. Chiếc flycam thứ hai bay đến điểm B cách mặt đất,11m, cách điểm xuất phát 7m về phía nam và 3m về phía tây. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O,đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất (coi như phẳng) có,trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục O: hướng thẳng đứng lên trời,(đơn vị đo trên mỗi trục là mét). Khi đó:,a) Tọa độ của điểm $B(7,3,1)$,b) Đường thẳng AB tạo với mặt đất một góc bằng 4&#x27; (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).,c) Giả sử trên mặt đất người ta đặt một thiết bị phá sóng flycam tại điểm 1(50;35;0) có phạm,vi phá sóng 60m . Khi đó, chiếc flycam ở vị trí điểm A không bị phá sóng còn chiếc flycam ở vị,trí điểm B bị phá sóng.,d) Phương trình đường thẳng đi qua vị trí của hai chiếc flycam tại A và B là $\left\{\begin{array}{l}x=-6+13x\y=4-7x\z=10+t\end{array}ight.$

Thiên Hạo (天昊) · Accepted Answer

{"userId":5365521,"userName":"Apple_ne0Qfh5U89dXwxDEs1im7isENH83"}

Câu 1:

a) Đúng. Ta có $V(t)$ là nguyên hàm của $f(t)$, nên:

$V(t) = \int f(t) dt = \int (4t - 0.2t^2) dt = 2t^2 - \frac{0.2t^3}{3} + C = 2t^2 - \frac{t^3}{15} + C$

Vì $V(0) = 0$, nên $C = 0$. Vậy $V(t) = 2t^2 - \frac{t^3}{15}$.

b) Sai. Lưu lượng nước vào bể đạt cực đại khi $f'(t) = 0$. Ta có:

$f'(t) = 4 - 0.4t = 0 \Leftrightarrow t = 10$.

Vậy lưu lượng nước vào bể đạt cực đại tại thời điểm $t = 10$ (giờ).

c) Đúng. Gọi $V_{out}(t)$ là lượng nước thoát ra khỏi bể sau $t$ giờ.

$V_{out}(t) = 3t$.

Sau 10 giờ, lượng nước còn lại trong bể là:

$V(10) - V_{out}(10) = (2 \cdot 10^2 - \frac{10^3}{15}) - 3 \cdot 10 = 200 - \frac{200}{3} - 30 = 170 - \frac{200}{3} = \frac{510-200}{3} = \frac{310}{3} \approx 103.3$ lít.

d) Sai. Tại thời điểm $t = 3$ giờ, lượng nước trong bể là:

$V(3) = 2 \cdot 3^2 - \frac{3^3}{15} = 18 - \frac{27}{15} = 18 - \frac{9}{5} = \frac{90-9}{5} = \frac{81}{5} = 16.2$ lít.

Câu 2:

a) Đúng. Tọa độ của điểm $B$ là $B(7; 3; 11)$.

b) Sai. Tọa độ điểm $A$ là $(0;0;10)$. Tọa độ điểm $B$ là $(7;3;11)$. Vector $\overrightarrow{AB} = (7;3;1)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và mặt phẳng gốc $Oxy$.

Ta có $\sin \alpha = \frac{|z_{AB}|}{\sqrt{x_{AB}^2 + y_{AB}^2 + z_{AB}^2}} = \frac{1}{\sqrt{7^2 + 3^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{49 + 9 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{59}}$.

Vậy $\alpha = \arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{59}} ight)$. Sử dụng máy tính, ta tính được $\alpha \approx 7.8^\circ$.

c) Đúng. Tọa độ điểm $I$ là $(50; 35; 0)$. Khoảng cách từ $I$ đến $A$ là:

$IA = \sqrt{(50-0)^2 + (35-0)^2 + (0-10)^2} = \sqrt{2500 + 1225 + 100} = \sqrt{3825} \approx 61.8 ext{ m} > 60 ext{ m}$.

Khoảng cách từ $I$ đến $B$ là:

$IB = \sqrt{(50-7)^2 + (35-3)^2 + (0-11)^2} = \sqrt{43^2 + 32^2 + 11^2} = \sqrt{1849 + 1024 + 121} = \sqrt{2994} \approx 54.7 ext{ m} < 60 ext{ m}$.

Vậy flycam ở vị trí điểm $A$ không bị phá sóng còn flycam ở vị trí điểm $B$ bị phá sóng.

d) Đúng. Đường thẳng đi qua vị trí của hai chiếc flycam tại $A$ và $B$ có phương trình tham số là:

$\begin{cases} x = 0 + 7t \ y = 0 + 3t \ z = 10 + t \end{cases}$ $<=>$ $\begin{cases} x = 7t \ y = 3t \ z = 10 + t \end{cases}$

Nhân 2 vế của phương trình thứ hai với $ \frac{13}{3}$ rồi cộng với phương trình 1, ta có: $x = -6 + 13t$. Phương trình thứ hai lấy $y = 4 - 7t$.

Thay lại vào ta được $\begin{cases} x = -6 + 13t \ y = 4 - 7t \ z = 10 + t \end{cases}$

Vậy phương trình đường thẳng đúng.

Timi · Answer

Câu 1. Để giải quyết các phần của bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Phần a) Tìm thể tích nước đã chảy vào bể lọc sau thời gian $ t $ giờ. Lưu lượng nước chảy vào bể tại thời điểm $ t $ là: $$ f(t) = 4t - 0,2t^3 $$ Thể tích nước đã chảy vào bể sau thời gian $ t $ giờ là: $$ P(t) = \int_0^t f(u) \, du $$ $$ P(t) = \int_0^t (4u - 0,2u^3) \, du $$ Tính tích phân: $$ P(t) = \left[ 2u^2 - \frac{0,2u^4}{4} \right]_0^t $$ $$ P(t) = \left[ 2u^2 - \frac{0,2u^4}{4} \right]_0^t $$ $$ P(t) = \left[ 2u^2 - \frac{0,05u^4} \right]_0^t $$ $$ P(t) = 2t^2 - \frac{0,05t^4} $$ Vậy: $$ P(t) = 2t^2 - \frac{t^4}{20} $$ Phần b) Tìm thời điểm lưu lượng nước vào bể đạt cực đại. Để tìm cực đại của hàm số $ f(t) = 4t - 0,2t^3 $, ta tính đạo hàm và tìm điểm cực đại: $$ f'(t) = 4 - 0,6t^2 $$ Đặt $ f'(t) = 0 $: $$ 4 - 0,6t^2 = 0 $$ $$ 0,6t^2 = 4 $$ $$ t^2 = \frac{4}{0,6} $$ $$ t^2 = \frac{20}{3} $$ $$ t = \sqrt{\frac{20}{3}} \approx 2,58 $$ Kiểm tra dấu của đạo hàm hai bên điểm này để xác định cực đại: - Khi $ t < \sqrt{\frac{20}{3}} $, $ f'(t) > 0 $ (hàm số tăng) - Khi $ t > \sqrt{\frac{20}{3}} $, $ f'(t) < 0 $ (hàm số giảm) Vậy lưu lượng nước vào bể đạt cực đại ở thời điểm $ t = \sqrt{\frac{20}{3}} \approx 2,58 $ giờ. Phần c) Sau 10 giờ, thể tích nước thực tế còn lại trong bể. Thể tích nước chảy vào bể sau 10 giờ: $$ P(10) = 2(10)^2 - \frac{(10)^4}{20} $$ $$ P(10) = 200 - \frac{10000}{20} $$ $$ P(10) = 200 - 500 $$ $$ P(10) = -300 $$ Thể tích nước thoát ra sau 10 giờ: $$ 3 \times 10 = 30 \text{ lít} $$ Thể tích nước thực tế còn lại trong bể: $$ P_{\text{còn lại}} = P(10) - 30 $$ $$ P_{\text{còn lại}} = -300 - 30 $$ $$ P_{\text{còn lại}} = -330 $$ Phần d) Tìm thời điểm bể lọc chứa 16 lít nước. Ta cần giải phương trình: $$ 2t^2 - \frac{t^4}{20} = 16 $$ Nhân cả hai vế với 20: $$ 40t^2 - t^4 = 320 $$ $$ t^4 - 40t^2 + 320 = 0 $$ Đặt $ u = t^2 $: $$ u^2 - 40u + 320 = 0 $$ Giải phương trình bậc hai: $$ u = \frac{40 \pm \sqrt{1600 - 1280}}{2} $$ $$ u = \frac{40 \pm \sqrt{320}}{2} $$ $$ u = \frac{40 \pm 17,89}{2} $$ Có hai nghiệm: $$ u_1 = \frac{40 + 17,89}{2} = 28,945 $$ $$ u_2 = \frac{40 - 17,89}{2} = 11,055 $$ Do $ u = t^2 $, ta có: $$ t^2 = 28,945 \Rightarrow t = \sqrt{28,945} \approx 5,38 $$ $$ t^2 = 11,055 \Rightarrow t = \sqrt{11,055} \approx 3,33 $$ Vậy thời điểm bể lọc chứa 16 lít nước là $ t \approx 3,33 $ giờ hoặc $ t \approx 5,38 $ giờ. Kết luận: a) $ P(t) = 2t^2 - \frac{t^4}{20} $ b) Lưu lượng nước vào bể đạt cực đại ở thời điểm $ t \approx 2,58 $ giờ. c) Thể tích nước thực tế còn lại trong bể sau 10 giờ là $ -330 $ lít. d) Thời điểm bể lọc chứa 16 lít nước là $ t \approx 3,33 $ giờ hoặc $ t \approx 5,38 $ giờ. Câu 2. a) Tọa độ của điểm B: - Điểm B cách điểm xuất phát 7m về phía nam, 3m về phía tây và 11m cao trên mặt đất. - Trong hệ tọa độ Oxyz, trục Ox hướng nam, trục Oy hướng đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời. - Do đó, tọa độ của điểm B là $(7, -3, 11)$. b) Góc giữa đường thẳng AB và mặt đất: - Vector $\overrightarrow{AB}$ từ điểm A(-6, 4, 10) đến điểm B(7, -3, 11) là $\overrightarrow{AB} = (7 - (-6), -3 - 4, 11 - 10) = (13, -7, 1)$. - Vector $\overrightarrow{AB}$ tạo với mặt đất (Oxy) một góc $\theta$. - Vector pháp tuyến của mặt đất (Oxy) là $\overrightarrow{n} = (0, 0, 1)$. - Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{n}$ là $\alpha$, thì $\cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{n}|} = \frac{1}{\sqrt{13^2 + (-7)^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{219}}$. - Góc giữa đường thẳng AB và mặt đất là $\theta = 90^\circ - \alpha$. - $\sin(\theta) = \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{219}}$. - $\theta = \arcsin\left(\frac{1}{\sqrt{219}}\right) \approx 4^\circ$. c) Kiểm tra phạm vi phá sóng: - Khoảng cách từ điểm A(-6, 4, 10) đến điểm I(50, 35, 0) là $d_A = \sqrt{(50 - (-6))^2 + (35 - 4)^2 + (0 - 10)^2} = \sqrt{56^2 + 31^2 + 10^2} = \sqrt{3136 + 961 + 100} = \sqrt{4297} \approx 65.55 > 60$. - Khoảng cách từ điểm B(7, -3, 11) đến điểm I(50, 35, 0) là $d_B = \sqrt{(50 - 7)^2 + (35 - (-3))^2 + (0 - 11)^2} = \sqrt{43^2 + 38^2 + 11^2} = \sqrt{1849 + 1444 + 121} = \sqrt{3414} \approx 58.43 < 60$. - Do đó, flycam ở vị trí điểm A không bị phá sóng, còn flycam ở vị trí điểm B bị phá sóng. d) Phương trình đường thẳng đi qua A và B: - Vector $\overrightarrow{AB} = (13, -7, 1)$. - Đường thẳng đi qua điểm A(-6, 4, 10) và có vector phương là $\overrightarrow{AB}$ có phương trình tham số là: $$ \left\{ \begin{array}{l} x = -6 + 13t \ y = 4 - 7t \ z = 10 + t \end{array} \right. $$ Đáp số: a) Tọa độ của điểm B là $(7, -3, 11)$. b) Góc giữa đường thẳng AB và mặt đất là $4^\circ$. c) Flycam ở vị trí điểm A không bị phá sóng, còn flycam ở vị trí điểm B bị phá sóng. d) Phương trình đường thẳng đi qua vị trí của hai chiếc flycam tại A và B là $\left\{ \begin{array}{l} x = -6 + 13t \ y = 4 - 7t \ z = 10 + t \end{array} \right.$.