Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH ⊥ AC, CK ⊥ AB (H ∈ AC, K ∈ AB)
a, Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân
b, Gọi I là giao của BH và CK, AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của BIC

Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH ⊥ AC, CK ⊥ AB (H ∈ AC, K ∈ AB)
a, Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân 
b, Gọi I là giao của BH và CK, AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của BIC

Timi · Accepted Answer

a, Ta có:
- Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.
- BH ⊥ AC và CK ⊥ AB nên góc BHC = góc CHB = 90°.
- Xét tam giác BHC và tam giác CHB:
  + BH = CK (vì chúng là đường cao hạ từ đỉnh B và C xuống đáy AC và AB của tam giác cân).
  + Góc BHC = góc CHB = 90°.
  + HC chung.
  Do đó, tam giác BHC và tam giác CHB bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
- Từ đó, ta có BK = AH (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
- Xét tam giác AKH:
  + Góc AKH = góc AHK (vì chúng là các góc nội tiếp chắn cung HK).
  + BK = AH (chứng minh trên).
  Do đó, tam giác AKH là tam giác cân tại A.

b, Ta có:
- Gọi D là giao điểm của AI và BC.
- Vì tam giác ABC cân tại A nên AI là đường trung trực của BC.
- Xét tam giác BID và tam giác CID:
  + BI = CI (vì chúng là các đường cao hạ từ đỉnh B và C xuống đáy AC và AB của tam giác cân).
  + Góc BID = góc CID (vì chúng là các góc nội tiếp chắn cung BD và CD).
  + ID chung.
  Do đó, tam giác BID và tam giác CID bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
- Từ đó, ta có góc BID = góc CID (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau).
- Vậy IM là phân giác của góc BIC.

Đáp số: a, Tam giác AKH là tam giác cân tại A. b, IM là phân giác của góc BIC.

Thiên Hạo (天昊) · Answer

a) Chứng minh $ riangle AKH$ là tam giác cân:

Xét $ riangle ABC$ cân tại $A$, ta có:

$AB = AC$

$\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$

Xét $ riangle ABH$ vuông tại $H$ và $ riangle ACK$ vuông tại $K$, ta có:

$AB = AC$ (cmt)

$\widehat{ABC} = \widehat{ACB}$ (cmt)

$\Rightarrow riangle ABH = riangle ACK$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow AH = AK$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow riangle AKH$ cân tại $A$

b) Chứng minh $IM$ là phân giác của $\widehat{BIC}$:

Xét $ riangle ABI$ và $ riangle ACI$, ta có:

$AB = AC$ (cmt)

$AI$ là cạnh chung

$\widehat{BAI} = \widehat{CAI}$ (do $ riangle ABH = riangle ACK$)

$\Rightarrow riangle ABI = riangle ACI$ (c-g-c)

$\Rightarrow BI = CI$ (2 cạnh tương ứng)

$\Rightarrow riangle BIC$ cân tại $I$

Mà trong $ riangle BIC$, $IM$ là đường trung tuyến (do $M$ là trung điểm của $BC$)

$\Rightarrow IM$ cũng là đường phân giác của $\widehat{BIC}$ (trong tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh)

Trịnh Minh Châu · Answer

{"userId":5417592,"userName":"Nguyenn Thanhh Thuyy"}

a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAKC vuông tại K có

AB=AC

góc BAH chung

=>ΔAHB=ΔAKC

=>AH=AK

b: Xet ΔABC có

BH,CK là đường cao

BH cắt CK tại I

=>I là trực tâm

=>AI vuông góc BC tại M

góc KBC+góc ICB=90 độ

góc HCB+góc IBC=90 độ

mà góc KBC=góc HCB

nên góc IBC=góc ICB

=>ΔIBC cân tại I

mà IM là đường cao

nên IM là phân giác của góc BIC

c: Xét ΔABC có AK/AB=AH/AC

nên KH//CB

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH ⊥ AC, CK ⊥ AB (H ∈ AC, K ∈ AB) a, Chứng minh tam giác AKH là tam giác cân b, Gọi I là giao của BH và CK, AI cắt BC tại M. Chứng minh rằng IM là phân giác của BIC