giải hộ ạ đang gấp

Để giải quyết các mệnh đề của bài toán, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề một. a) Kiểm tra \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) \) và \( f(\pi) \): \[ f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos^3\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin^3\left(\frac{\pi}{2}\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0 - 1 - 0 + 1 = 0 \] \[ f(\pi) = \cos^3(\pi) - \sin^3(\pi) - \cos(\pi) + \sin(\pi) = (-1)^3 - 0 - (-1) + 0 = -1 + 1 = 0 \] Vậy \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) = f(\pi) = 0 \). Mệnh đề này đúng. b) Đặt \( t = \cos x - \sin x \): \[ f(x) = \cos^3 x - \sin^3 x - \cos x + \sin x \] \[ = (\cos x - \sin x)(\cos^2 x + \cos x \sin x + \sin^2 x) - (\cos x - \sin x) \] \[ = (\cos x - \sin x)(1 + \cos x \sin x) - (\cos x - \sin x) \] \[ = (\cos x - \sin x)(1 + \cos x \sin x - 1) \] \[ = (\cos x - \sin x)(\cos x \sin x) \] \[ = t \cdot \left( \frac{1}{2} \sin 2x \right) \] \[ = \frac{t}{2} \cdot \sin 2x \] Do \( \sin 2x = 1 - t^2 \), nên: \[ f(t) = \frac{t}{2} \cdot (1 - t^2) = \frac{t - t^3}{2} \] Mệnh đề này đúng. c) Tìm nghiệm của \( f'(t) = 0 \): \[ f(t) = \frac{t - t^3}{2} \] \[ f'(t) = \frac{1 - 3t^2}{2} \] \[ f'(t) = 0 \Rightarrow 1 - 3t^2 = 0 \] \[ 3t^2 = 1 \] \[ t^2 = \frac{1}{3} \] \[ t = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \] Có hai nghiệm \( t = \frac{1}{\sqrt{3}} \) và \( t = -\frac{1}{\sqrt{3}} \). Mệnh đề này đúng. d) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( y \): \[ f(t) = \frac{t - t^3}{2} \] \[ f'(t) = \frac{1 - 3t^2}{2} \] \[ f''(t) = -3t \] Kiểm tra các điểm cực trị: - \( t = \frac{1}{\sqrt{3}} \): \( f''\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3} < 0 \) (điểm cực đại) - \( t = -\frac{1}{\sqrt{3}} \): \( f''\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -3 \cdot -\frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} > 0 \) (điểm cực tiểu) Tính giá trị tại các điểm biên: - \( t = -\sqrt{2} \): \( f(-\sqrt{2}) = \frac{-\sqrt{2} - (-\sqrt{2})^3}{2} = \frac{-\sqrt{2} + 2\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \) - \( t = \sqrt{2} \): \( f(\sqrt{2}) = \frac{\sqrt{2} - (\sqrt{2})^3}{2} = \frac{\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{-\sqrt{2}}{2} \) Giá trị nhỏ nhất của \( y \) là \( \frac{-\sqrt{2}}{2} \). Mệnh đề này sai. Kết luận: - Mệnh đề a) đúng. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) sai.