Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF cất nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH.

a. Chứng minh rằng tử giác AEHF nội tiếp một đường tròn tâm I.

b. Chứng minh rằng MẸ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

Question

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF cất nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH.

a. Chứng minh rằng tử giác AEHF nội tiếp một đường tròn tâm I.

b. Chứng minh rằng MẸ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF.

ft. Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5361573,"userName":"Ng Thùy"}

a, Các góc $\angle AFH = \angle AEH = 90^\circ$ (do $CF \perp AB$ và $BE \perp AC$).

Suy ra $\angle AFH + \angle AEH = 180^\circ$, nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH.

I là trung điểm của AH (theo đề bài).

Vì AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên tâm I của đường tròn này chính là trung điểm AH.

b, Gọi đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHF là (I).

Ta có: M là trung điểm BC (theo đề bài).

I là trung điểm AH.

$\angle HAE = \angle HBE$ (cùng phụ với $\angle ACB$).

Chứng minh được $\angle IEM = \angle IAE$ (cùng bằng $\angle HBE$).

Suy ra ME vuông góc với bán kính IE tại E.

Do đó: ME vuông góc với IE tại E nên ME là tiếp tuyến của đường tròn (I) tại E.

Timi · Answer

a. Ta có: $\widehat{AEF} = \widehat{AHF} = 90^\circ$ nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I (giao điểm của các đường trung trực cạnh AE, EF, HF).

b. Ta có: $\widehat{MEH} = \widehat{MCH}$ (cùng chắn cung MH) và $\widehat{MCH} = \widehat{MAH}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung MH) nên $\widehat{MEH} = \widehat{MAH}$

Mà $\widehat{MAH} = \widehat{AFH}$ (tứ giác AEHF nội tiếp) nên $\widehat{MEH} = \widehat{AFH}$

$\widehat{AFH}$ là góc nội tiếp chắn cung EH nên $\widehat{MEH}$ là góc giữa tia ME và cung EH của đường tròn tâm I.

Vậy ME tiếp xúc với đường tròn tâm I.

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE, CF cất nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH. a. Chứng minh rằng tử giác AEHF nội tiếp một đường tròn...