Giải bài sau:

Câu 1: Để tính số tiền bác Tư phải trả, chúng ta cần biết diện tích của cái cửa nhà hình parabol và giá thuê mỗi mét vuông. 1. Xác định phương trình của parabol: - Ta đặt hệ tọa độ sao cho đỉnh của parabol trùng với gốc tọa độ (0,0) và trục đối xứng của parabol trùng với trục y. - Chiều cao từ mặt đất đến đỉnh là 2,25m, tức là điểm (0, 2,25). - Chiều rộng tiếp giáp với mặt đất là 3m, tức là hai điểm (-1,5, 0) và (1,5, 0). Phương trình của parabol có dạng: \[ y = ax^2 + bx + c \] Vì đỉnh của parabol là (0, 2,25), nên c = 2,25. Do đó: \[ y = ax^2 + 2,25 \] Thay điểm (1,5, 0) vào phương trình: \[ 0 = a(1,5)^2 + 2,25 \] \[ 0 = 2,25a + 2,25 \] \[ 2,25a = -2,25 \] \[ a = -1 \] Vậy phương trình của parabol là: \[ y = -x^2 + 2,25 \] 2. Tính diện tích của hình parabol: Diện tích của hình parabol có thể tính bằng cách tích phân phương trình của parabol từ -1,5 đến 1,5: \[ A = \int_{-1,5}^{1,5} (-x^2 + 2,25) \, dx \] Tính tích phân: \[ A = \left[ -\frac{x^3}{3} + 2,25x \right]_{-1,5}^{1,5} \] \[ A = \left( -\frac{(1,5)^3}{3} + 2,25(1,5) \right) - \left( -\frac{(-1,5)^3}{3} + 2,25(-1,5) \right) \] \[ A = \left( -\frac{3,375}{3} + 3,375 \right) - \left( \frac{3,375}{3} - 3,375 \right) \] \[ A = \left( -1,125 + 3,375 \right) - \left( 1,125 - 3,375 \right) \] \[ A = 2,25 - (-2,25) \] \[ A = 2,25 + 2,25 \] \[ A = 4,5 \text{ mét vuông} \] 3. Tính số tiền bác Tư phải trả: Giá thuê mỗi mét vuông là 1,5 triệu đồng, tức là 1,500,000 đồng. \[ \text{Số tiền phải trả} = 4,5 \times 1,500,000 = 6,750,000 \text{ đồng} \] Vậy số tiền bác Tư phải trả là 6,750,000 đồng. Câu 2: Để tính diện tích của khu đất trồng cây cảnh, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính diện tích giữa hai đường cong \( y = f(x) = \sqrt{x} \) và \( y = g(x) = x - 2 \). Bước 1: Tìm giao điểm của hai đường cong: \[ \sqrt{x} = x - 2 \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có: \[ t = t^2 - 2 \implies t^2 - t - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \] Vậy \( t = 2 \) hoặc \( t = -1 \). Vì \( t = \sqrt{x} \geq 0 \), ta loại \( t = -1 \). Do đó, \( t = 2 \) và \( x = 4 \). Bước 2: Xác định khoảng tích phân: Hai đường cong giao nhau tại \( x = 4 \). Ta cần tìm thêm điểm giao khác, nếu có. Ta thấy rằng \( y = \sqrt{x} \) và \( y = x - 2 \) đều đi qua gốc tọa độ (0,0). Do đó, khoảng tích phân là từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \). Bước 3: Tính diện tích giữa hai đường cong: Diện tích \( A \) giữa hai đường cong từ \( x = 0 \) đến \( x = 4 \) là: \[ A = \int_{0}^{4} (\sqrt{x} - (x - 2)) \, dx \] Bước 4: Tính tích phân: \[ A = \int_{0}^{4} (\sqrt{x} - x + 2) \, dx \] Tách thành các tích phân riêng: \[ A = \int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx - \int_{0}^{4} x \, dx + \int_{0}^{4} 2 \, dx \] Tính từng tích phân: \[ \int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx = \int_{0}^{4} x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 0) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} \] \[ \int_{0}^{4} x \, dx = \left[ \frac{1}{2} x^2 \right]_{0}^{4} = \frac{1}{2} (4^2 - 0) = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \] \[ \int_{0}^{4} 2 \, dx = 2 \left[ x \right]_{0}^{4} = 2 (4 - 0) = 8 \] Vậy diện tích \( A \) là: \[ A = \frac{16}{3} - 8 + 8 = \frac{16}{3} \approx 5.33 \text{ mét vuông} \] Do đó, diện tích của khu đất trồng cây cảnh là khoảng 5.3 mét vuông (làm tròn đến hàng phần mười). Câu 3: Để xác định tọa độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa, chúng ta cần thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường thẳng d: - Đường thẳng d đi qua điểm A(-688, -185, 8) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (91, 75, 0)$. - Phương trình tham số của đường thẳng d: \[ \begin{cases} x = -688 + 91t \\ y = -185 + 75t \\ z = 8 \end{cases} \] 2. Xác định điều kiện để máy bay ra khỏi màn hình ra đa: - Máy bay ra khỏi màn hình ra đa khi khoảng cách từ máy bay đến đài kiểm soát không lưu (O(0, 0, 0)) là 417 km. - Khoảng cách từ điểm M(x, y, z) đến O(0, 0, 0) là: \[ OM = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] - Thay tọa độ của điểm M vào phương trình: \[ \sqrt{(-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 8^2} = 417 \] 3. Giải phương trình để tìm giá trị của t: - Bình phương cả hai vế: \[ (-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 417^2 \] - Tính toán: \[ (-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 + 64 = 173889 \] \[ (-688 + 91t)^2 + (-185 + 75t)^2 = 173825 \] - Ta có: \[ (688 - 91t)^2 + (185 - 75t)^2 = 173825 \] - Giải phương trình này để tìm t: \[ 688^2 - 2 \cdot 688 \cdot 91t + 91^2t^2 + 185^2 - 2 \cdot 185 \cdot 75t + 75^2t^2 = 173825 \] \[ 473344 - 125344t + 8281t^2 + 34225 - 27750t + 5625t^2 = 173825 \] \[ 13906t^2 - 153094t + 507569 = 173825 \] \[ 13906t^2 - 153094t + 333744 = 0 \] - Chia cả phương trình cho 2: \[ 6953t^2 - 76547t + 166872 = 0 \] - Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{76547 \pm \sqrt{76547^2 - 4 \cdot 6953 \cdot 166872}}{2 \cdot 6953} \] \[ t = \frac{76547 \pm \sqrt{5860000000 - 4660000000}}{13906} \] \[ t = \frac{76547 \pm \sqrt{1200000000}}{13906} \] \[ t = \frac{76547 \pm 34641}{13906} \] \[ t_1 = \frac{76547 + 34641}{13906} \approx 8.1 \] \[ t_2 = \frac{76547 - 34641}{13906} \approx 3.0 \] 4. Tìm tọa độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa: - Thay t = 8.1 vào phương trình đường thẳng d: \[ x = -688 + 91 \cdot 8.1 \approx 79.1 \] \[ y = -185 + 75 \cdot 8.1 \approx 402.5 \] \[ z = 8 \] Vậy tọa độ của vị trí mà máy bay ra khỏi màn hình ra đa là $(79.1, 402.5, 8)$. Câu 4: Để tính xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó, ta sẽ xét các trường hợp có thể xảy ra và tính xác suất cho mỗi trường hợp. Gọi A là sự kiện "chị Mai bị lây bệnh". Có hai trường hợp có thể xảy ra: 1. Chị Mai bị lây bệnh khi tiếp xúc lần đầu không đeo khẩu trang và lần thứ hai đeo khẩu trang. 2. Chị Mai bị lây bệnh khi tiếp xúc lần đầu đeo khẩu trang và lần thứ hai không đeo khẩu trang. Xác suất để chị Mai bị lây bệnh khi tiếp xúc lần đầu không đeo khẩu trang và lần thứ hai đeo khẩu trang là: \[ P(A_1) = 0,8 \times 0,1 = 0,08 \] Xác suất để chị Mai bị lây bệnh khi tiếp xúc lần đầu đeo khẩu trang và lần thứ hai không đeo khẩu trang là: \[ P(A_2) = 0,1 \times 0,8 = 0,08 \] Vì hai trường hợp này là độc lập, nên xác suất tổng cộng để chị Mai bị lây bệnh là: \[ P(A) = P(A_1) + P(A_2) = 0,08 + 0,08 = 0,16 \] Vậy xác suất để chị Mai bị lây bệnh từ người bệnh truyền nhiễm đó là 0,16. Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tối ưu hóa diện tích hình chữ nhật dựa trên điều kiện cho sẵn về chiều dài hàng rào. Bước 1: Xác định biến và điều kiện - Gọi chiều dài mỗi chuồng là \( x \) (m) - Gọi chiều rộng mỗi chuồng là \( y \) (m) Do có 2 chuồng sát nhau và sát một con sông, nên tổng chiều dài hàng rào là: \[ 3x + 2y = 240 \] Bước 2: Biểu diễn diện tích Diện tích của cả hai chuồng là: \[ S = 2xy \] Bước 3: Biểu diễn \( y \) theo \( x \) Từ điều kiện \( 3x + 2y = 240 \), ta có: \[ 2y = 240 - 3x \] \[ y = 120 - \frac{3x}{2} \] Bước 4: Thay vào biểu thức diện tích \[ S = 2x \left( 120 - \frac{3x}{2} \right) \] \[ S = 2x \cdot 120 - 2x \cdot \frac{3x}{2} \] \[ S = 240x - 3x^2 \] Bước 5: Tìm giá trị cực đại của diện tích Để tìm giá trị lớn nhất của \( S \), ta tính đạo hàm của \( S \) theo \( x \): \[ \frac{dS}{dx} = 240 - 6x \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị: \[ 240 - 6x = 0 \] \[ 6x = 240 \] \[ x = 40 \] Kiểm tra điều kiện để đảm bảo \( x = 40 \) là điểm cực đại: \[ \frac{d^2S}{dx^2} = -6 \] (đạo hàm bậc hai âm, do đó \( x = 40 \) là điểm cực đại) Bước 6: Tính diện tích lớn nhất Khi \( x = 40 \): \[ y = 120 - \frac{3 \times 40}{2} = 120 - 60 = 60 \] Diện tích lớn nhất là: \[ S_{\text{max}} = 2 \times 40 \times 60 = 4800 \, \text{m}^2 \] Vậy diện tích lớn nhất có thể bao quanh chuồng là 4800 m². Câu 6: Để tìm tốc độ truyền bệnh lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(t)$ trong khoảng thời gian từ 0 đến 12 tháng (từ ngày đầu tiên đến ngày thứ 365). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số $f(t)$: \[ f'(t) = \frac{d}{dt} \left( 35t^2 - \frac{5}{3}t^3 \right) = 70t - 5t^2 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(t) = 0 \] \[ 70t - 5t^2 = 0 \] \[ 5t(14 - t) = 0 \] Từ đây, ta có hai nghiệm: \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = 14 \] Bước 3: Kiểm tra các giá trị của $f(t)$ tại các điểm cực trị và tại các biên của khoảng thời gian (từ 0 đến 365): - Tại $t = 0$: \[ f(0) = 35(0)^2 - \frac{5}{3}(0)^3 = 0 \] - Tại $t = 14$: \[ f(14) = 35(14)^2 - \frac{5}{3}(14)^3 = 35 \cdot 196 - \frac{5}{3} \cdot 2744 = 6860 - \frac{13720}{3} = 6860 - 4573.33 = 2286.67 \] - Tại $t = 365$: \[ f(365) = 35(365)^2 - \frac{5}{3}(365)^3 = 35 \cdot 133225 - \frac{5}{3} \cdot 48627125 = 4662875 - \frac{243135625}{3} = 4662875 - 81045208.33 = -76382333.33 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị lớn nhất: - $f(0) = 0$ - $f(14) = 2286.67$ - $f(365) = -76382333.33$ Như vậy, giá trị lớn nhất của hàm số $f(t)$ là 2286.67, đạt được khi $t = 14$. Kết luận: Tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ 14.