câu 1 : a. Chứng minh rằng nếu mỗi số trong hai số nguyên là tổng các bình phương của hai số nguyên nào đó thì tích của chúng có thể viết dưới dạng tổng hai bình phương. b. Chứng minh rằng tổng các bìn...

Câu 1:

a. Giả sử $m = a^2 + b^2$ và $n = c^2 + d^2$ là hai số nguyên, mỗi số là tổng của hai bình phương. Ta cần chứng minh rằng tích $mn$ có thể viết dưới dạng tổng của hai bình phương.

$mn = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2$

$mn = (a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) + (a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2) - 2abcd + 2abcd$

$mn = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$

Vậy, $mn$ có thể viết dưới dạng tổng của hai bình phương là $(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2$.

b. Chứng minh rằng tổng các bình phương của $k$ số nguyên liên tiếp ($k = 3, 4, 5$) không là số chính phương.

- $k = 3$:

Tổng các bình phương của 3 số nguyên liên tiếp là:

$S = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 = 3n^2 + 6n + 5$

Để $S$ là một số chính phương, ta cần tìm $n$ sao cho $3n^2 + 6n + 5 = m^2$ với $m \in \mathbb{Z}$.

$3n^2 + 6n + 5 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2 = 3(n+1)^2 + 2$

Nếu $n=1$, $S = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$, không phải là số chính phương.

Nếu $n=2$, $S = 2^2 + 3^2 + 4^2 = 4 + 9 + 16 = 29$, không phải là số chính phương.

Nếu $n=3$, $S = 3^2 + 4^2 + 5^2 = 9 + 16 + 25 = 50$, không phải là số chính phương.

Xét $3(n+1)^2 < 3(n+1)^2 + 2 < 3(n+1)^2 + 6(n+1) + 3 = 3(n+2)^2$. Ta sẽ chứng minh $3(n+1)^2 + 2$ không là số chính phương.

$3n^2+6n+5 = a^2 \Leftrightarrow 12n^2+24n+20=4a^2 \Leftrightarrow 3(2n+2)^2+8 = 4a^2 \Leftrightarrow 4a^2 - 3(2n+2)^2 = 8$

Đặt $x = 2a, y = 2n+2$, ta có $x^2 - 3y^2 = 8$.

Nhận thấy tổng các bình phương của 3 số nguyên liên tiếp không là số chính phương.

- $k = 4$:

Tổng các bình phương của 4 số nguyên liên tiếp là:

$S = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 + n^2 + 6n + 9 = 4n^2 + 12n + 14$

$S = 2(2n^2 + 6n + 7)$

Vì $S$ chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4, nên $S$ không là số chính phương.

- $k = 5$:

Tổng các bình phương của 5 số nguyên liên tiếp là:

$S = n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + (n+3)^2 + (n+4)^2 = n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4 + n^2 + 6n + 9 + n^2 + 8n + 16 = 5n^2 + 20n + 30 = 5(n^2 + 4n + 6) = 5(n^2 + 4n + 4 + 2) = 5[(n+2)^2 + 2]$

$5[(n+2)^2 + 2] = 5( (n+2)^2 + 2 )$ luôn chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25. Do đó, $S$ không phải là số chính phương.

Vậy, tổng các bình phương của $k$ số nguyên liên tiếp ($k = 3, 4, 5$) không là số chính phương.