cgghubdrybnkk

1) Chứng minh đẳng thức $(\sqrt{14-6\sqrt5}+\frac8{\sqrt5-1}):(\sqrt5+1)=\sqrt5.$ Đầu tiên, ta sẽ chứng minh rằng $\sqrt{14-6\sqrt5} = 3 - \sqrt{5}$. Ta có: \[ (\sqrt{14-6\sqrt5})^2 = 14 - 6\sqrt{5} \] \[ (3 - \sqrt{5})^2 = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5} \] Do đó, $\sqrt{14-6\sqrt5} = 3 - \sqrt{5}$. Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng $\frac{8}{\sqrt{5} - 1} = 2(\sqrt{5} + 1)$. Ta có: \[ \frac{8}{\sqrt{5} - 1} = \frac{8(\sqrt{5} + 1)}{(\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1)} = \frac{8(\sqrt{5} + 1)}{5 - 1} = \frac{8(\sqrt{5} + 1)}{4} = 2(\sqrt{5} + 1) \] Bây giờ, ta sẽ thay vào biểu thức ban đầu: \[ (\sqrt{14-6\sqrt5} + \frac{8}{\sqrt{5} - 1}) : (\sqrt{5} + 1) = (3 - \sqrt{5} + 2(\sqrt{5} + 1)) : (\sqrt{5} + 1) \] \[ = (3 - \sqrt{5} + 2\sqrt{5} + 2) : (\sqrt{5} + 1) \] \[ = (5 + \sqrt{5}) : (\sqrt{5} + 1) \] \[ = \frac{5 + \sqrt{5}}{\sqrt{5} + 1} \] \[ = \frac{(5 + \sqrt{5})(\sqrt{5} - 1)}{(\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1)} \] \[ = \frac{5\sqrt{5} - 5 + 5 - \sqrt{5}}{5 - 1} \] \[ = \frac{4\sqrt{5}}{4} \] \[ = \sqrt{5} \] Vậy ta đã chứng minh được đẳng thức $(\sqrt{14-6\sqrt5} + \frac{8}{\sqrt{5} - 1}) : (\sqrt{5} + 1) = \sqrt{5}$. 2) Rút gọn biểu thức $B = (\frac{x + 3\sqrt{x} - 2}{x - 9} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3}) \cdot \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}$ với $x \geq 0; x \neq 9$. Điều kiện xác định: $x \geq 0; x \neq 9$. Ta có: \[ B = \left( \frac{x + 3\sqrt{x} - 2}{x - 9} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} \] Chúng ta sẽ tìm mẫu chung cho các phân số trong ngoặc: \[ \frac{x + 3\sqrt{x} - 2}{x - 9} - \frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{(x + 3\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 3) - (x - 9)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} \] Tính tử số: \[ (x + 3\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 3) - (x - 9) \] \[ = x\sqrt{x} + 3x + 3x + 9\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 6 - x + 9 \] \[ = x\sqrt{x} + 5x + 7\sqrt{x} + 3 \] Vậy: \[ B = \frac{x\sqrt{x} + 5x + 7\sqrt{x} + 3}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} \cdot \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1} \] Chúng ta sẽ nhân tử số và mẫu số: \[ B = \frac{(x\sqrt{x} + 5x + 7\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 1)} \] Chúng ta sẽ rút gọn biểu thức này: \[ B = \frac{(x\sqrt{x} + 5x + 7\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 1)} \] Chúng ta thấy rằng biểu thức này đã được rút gọn tối đa và không thể rút gọn thêm nữa. Vậy, biểu thức $B$ đã được rút gọn là: \[ B = \frac{(x\sqrt{x} + 5x + 7\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} + 1)} \]