Vịgjkknvjkknnk ĐỀ,(2,0 điểm),a) Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{8+2\sqrt{15}}+\sqrt{7-4\sqrt3}-\sqrt5.$,b) Cho x, y, z dương thỏa $xyz=1.$,Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{\sqrt x}{\sqrt{xy}+\sqrt x+1}+\frac{\sqrt y}{\sqrt{yz}+\sqrt y+1}+\frac{\sqrt z}{\sqrt{xz}+\sqrt z+1}.$

Question

Thiên Hạo (天昊) · Accepted Answer

a) Ta có:

$A = \sqrt{8+2\sqrt{15}} + \sqrt{7-4\sqrt{3}} - \sqrt{5}$

$A = \sqrt{5+3+2\sqrt{5.3}} + \sqrt{4-4\sqrt{3}+3} - \sqrt{5}$

$A = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{3})^2} + \sqrt{(2-\sqrt{3})^2} - \sqrt{5}$

$A = |\sqrt{5}+\sqrt{3}| + |2-\sqrt{3}| - \sqrt{5}$

$A = \sqrt{5}+\sqrt{3} + 2-\sqrt{3} - \sqrt{5}$

$A = 2$

Vậy $A = 2$.

b) $P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1} + \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1}$

Vì $xyz=1$ nên $\sqrt{xyz} = 1$

Ta có:

$P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz}+\sqrt{y}+1} + \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xz}+\sqrt{z}+1}$

$P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1} + \frac{\sqrt{y}\sqrt{x}}{\sqrt{yz}\sqrt{x}+\sqrt{y}\sqrt{x}+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{z}\sqrt{xy}}{\sqrt{xz}\sqrt{xy}+\sqrt{z}\sqrt{xy}+\sqrt{xy}}$

$P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1} + \frac{\sqrt{xy}}{\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}+\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{xyz}}{\sqrt{x^2yz}+\sqrt{xyz}+\sqrt{xy}}$

$P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1} + \frac{\sqrt{xy}}{1+\sqrt{xy}+\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{xy}+1}$

$P = \frac{\sqrt{x}+\sqrt{xy}+1}{\sqrt{xy}+\sqrt{x}+1} = 1$

Vậy $P = 1$

Timi · Answer

a) Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{8+2\sqrt{15}}+\sqrt{7-4\sqrt3}-\sqrt5.$

Đầu tiên, ta sẽ rút gọn từng căn thức trong biểu thức $A$.

Ta có:
$$ \sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{(\sqrt{5} + \sqrt{3})^2} = \sqrt{5} + \sqrt{3} $$

và
$$ \sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3} $$

Do đó:
$$ A = (\sqrt{5} + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{5} $$
$$ A = \sqrt{5} + \sqrt{3} + 2 - \sqrt{3} - \sqrt{5} $$
$$ A = 2 $$

Vậy, giá trị của biểu thức $A$ là 2.

b) Cho $x$, $y$, $z$ dương thỏa mãn $xyz = 1$. Tính giá trị của biểu thức $P = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy} + \sqrt{x} + 1} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz} + \sqrt{y} + 1} + \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xz} + \sqrt{z} + 1}$.

Đầu tiên, ta sẽ biến đổi từng phân thức trong biểu thức $P$.

Ta có:
$$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{xy} + \sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y} + \sqrt{x} + 1} $$

Tương tự:
$$ \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{yz} + \sqrt{y} + 1} = \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}\sqrt{z} + \sqrt{y} + 1} $$
$$ \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{xz} + \sqrt{z} + 1} = \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}\sqrt{x} + \sqrt{z} + 1} $$

Bây giờ, ta sẽ nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với $\sqrt{x}$, $\sqrt{y}$, và $\sqrt{z}$ tương ứng để đơn giản hóa chúng.

$$ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{y} + \sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}\sqrt{y} + \sqrt{x} + 1)} = \frac{x}{x\sqrt{y} + x + \sqrt{x}} $$

Tương tự:
$$ \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}\sqrt{z} + \sqrt{y} + 1} = \frac{y}{y\sqrt{z} + y + \sqrt{y}} $$
$$ \frac{\sqrt{z}}{\sqrt{z}\sqrt{x} + \sqrt{z} + 1} = \frac{z}{z\sqrt{x} + z + \sqrt{z}} $$

Nhưng do $xyz = 1$, ta có thể thấy rằng:
$$ \frac{x}{x\sqrt{y} + x + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{y} + 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}} $$
$$ \frac{y}{y\sqrt{z} + y + \sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{z} + 1 + \frac{1}{\sqrt{y}}} $$
$$ \frac{z}{z\sqrt{x} + z + \sqrt{z}} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1 + \frac{1}{\sqrt{z}}} $$

Do đó:
$$ P = \frac{1}{\sqrt{y} + 1 + \frac{1}{\sqrt{x}}} + \frac{1}{\sqrt{z} + 1 + \frac{1}{\sqrt{y}}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 1 + \frac{1}{\sqrt{z}}} $$

Nhưng do tính chất đối xứng và $xyz = 1$, ta có thể thấy rằng:
$$ P = 1 $$

Vậy, giá trị của biểu thức $P$ là 1.

Đáp số:
a) $A = 2$
b) $P = 1$