Trong không gian với hệ trục toạ độ , cho đường thẳng và mặt phẳng . Vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Đường thẳng đi qua điểm . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng (kết quả làm tròn đ...

Để giải quyết các yêu cầu trong đề bài, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Giả sử phương trình của mặt phẳng là \(ax + by + cz + d = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n} = (a, b, c)\). Bước 2: Xác định đường thẳng đi qua điểm Giả sử đường thẳng đi qua điểm \(A(x_0, y_0, z_0)\) và có vectơ chỉ phương là \(\vec{u} = (l, m, n)\). Phương trình tham số của đường thẳng là: \[ x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \] Bước 3: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính bằng công thức: \[ \sin \theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| |\vec{n}|} \] Trong đó: - \(\vec{u} \cdot \vec{n}\) là tích vô hướng của hai vectơ. - \(|\vec{u}|\) và \(|\vec{n}|\) là độ dài của hai vectơ. Sau khi tính được \(\sin \theta\), ta tìm \(\theta\) bằng cách lấy arcsin của kết quả trên và làm tròn đến hàng phần mười. Bước 4: Xác định đường thẳng nằm trong mặt phẳng, vuông góc và cắt đường thẳng Đường thẳng nằm trong mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng đã cho sẽ có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Giả sử đường thẳng này đi qua điểm \(B(x_1, y_1, z_1)\) và có vectơ chỉ phương là \(\vec{n} = (a, b, c)\). Phương trình tham số của đường thẳng này là: \[ x = x_1 + at \\ y = y_1 + bt \\ z = z_1 + ct \] Bước 5: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng Khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0, 0, 0)\) đến đường thẳng được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|(x_1, y_1, z_1) \times (a, b, c)|}{|(a, b, c)|} \] Trong đó: - \((x_1, y_1, z_1) \times (a, b, c)\) là tích vectơ của hai vectơ. - \(|(a, b, c)|\) là độ dài của vectơ \((a, b, c)\). Kết luận Dựa vào các bước trên, chúng ta có thể xác định các thông số cần thiết và tính toán các giá trị theo yêu cầu của đề bài.