Giải hộ mình câu này với các bạn

Để giải quyết yêu cầu của bạn, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần 1: Rút gọn biểu thức $A$ $A=\left(\frac{1}{x-2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}-2}\right)\cdot\frac{\sqrt{x}+1}{x-4\sqrt{x}+4}$ Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện xác định: $x > 0$ và $x \neq 4$ (vì $x - 4\sqrt{x} + 4 = (\sqrt{x} - 2)^2 \neq 0$) Bước 2: Rút gọn từng phân thức Ta có: \[ \frac{1}{x-2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} \] \[ \frac{1}{\sqrt{x}-2} \] Bước 3: Quy đồng và cộng hai phân thức \[ \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} + \frac{1}{\sqrt{x}-2} = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)} \] Bước 4: Nhân với phân thức còn lại \[ A = \left(\frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}\right) \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-2)^2} \] Bước 5: Rút gọn biểu thức \[ A = \frac{(1 + \sqrt{x})(\sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}-2)^2} = \frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)^3} \] Phần 2: Giải hệ phương trình \[ \left\{ \begin{array}{l} x + 5y = 7 \\ 3x - 5y = 1 \end{array} \right. \] Bước 1: Cộng hai phương trình \[ (x + 5y) + (3x - 5y) = 7 + 1 \] \[ 4x = 8 \implies x = 2 \] Bước 2: Thay giá trị của $x$ vào một phương trình để tìm $y$ Thay $x = 2$ vào phương trình đầu tiên: \[ 2 + 5y = 7 \implies 5y = 5 \implies y = 1 \] Kết luận Giải hệ phương trình, ta tìm được nghiệm $(x, y) = (2, 1)$. Tổng kết 1. Biểu thức $A$ đã được rút gọn thành $\frac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)^3}$ với điều kiện $x > 0$ và $x \neq 4$. 2. Nghiệm của hệ phương trình là $(x, y) = (2, 1)$. Bài 2 1) Giải phương trình (1) khi $m=4$ Thay $m=4$ vào phương trình (1), ta được: $x^2-8x-9=0$ Phương trình này có $a-b+c=1-(-8)+(-9)=0$, do đó nó có hai nghiệm là $x_1=1$ và $x_2=-9$. 2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $x^3_1+9x_2=0$ Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt, ta cần: $\Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) > 0$ $4m^2 + 36 > 0$ $m^2 + 9 > 0$ Vì $m^2 \geq 0$ với mọi $m$, nên $m^2 + 9 > 0$ luôn đúng. Do đó, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$. Theo bài ra, ta có: $x^3_1 + 9x_2 = 0$ $x^3_1 = -9x_2$ $x^3_1 = -9(x_1 + 2m)$ (vì theo định lý Vi-et, $x_1 + x_2 = 2m$) $x^3_1 = -9x_1 - 18m$ $x^3_1 + 9x_1 + 18m = 0$ $x_1(x^2_1 + 9) + 18m = 0$ $x_1(x^2_1 + 9) = -18m$ Vì $x^2_1 + 9 > 0$ với mọi $x_1$, nên $x_1(x^2_1 + 9) = -18m$ chỉ xảy ra khi $x_1 < 0$ và $m > 0$ hoặc $x_1 > 0$ và $m < 0$. Do đó, các giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu của đề bài là $m > 0$ hoặc $m < 0$. Bài 3. 1) Gọi chiều rộng của thửa đất là x (m, điều kiện: x > 0). Chiều dài của thửa đất là: x + 4 (m). Diện tích của thửa đất là: x(x + 4) = 320. x^2 + 4x - 320 = 0 (x + 20)(x - 16) = 0 x = -20 hoặc x = 16 Vì x > 0 nên x = 16. Chiều rộng của thửa đất là 16 m. Chiều dài của thửa đất là: 16 + 4 = 20 (m). Chu vi của thửa đất là: (16 + 20) × 2 = 72 (m). Đáp số: 72 m. 2) a) Bảng tần số và tần số tương đối của mẫu số liệu: | Tuổi thọ | Tần số | Tần số tương đối | |----------|--------|-----------------| | 1150 | 3 | 0,1 | | 1160 | 6 | 0,2 | | 1170 | 12 | 0,4 | | 1180 | 6 | 0,2 | | 1190 | 3 | 0,1 | b) Số lượng bóng đèn có tuổi thọ từ 1160 đến 1180 là: 6 + 12 + 6 = 24 (bóng đèn). Tỷ lệ phần trăm bóng đèn có tuổi thọ từ 1160 đến 1180 là: $\frac{24}{30} \times 100\% = 80\%$. Vì 80% > 75%, nên nhận định "Có trên 75% bóng đèn có tuổi thọ từ 1160 đến 1180" là đúng. Bài 4. a) Ta có $\widehat{OBP}=\widehat{OHP}=90^\circ$ nên tứ giác OHBP nội tiếp đường tròn (giao điểm của hai tiếp tuyến với đường tròn tạo với tiếp điểm một góc vuông). b) Ta có $\widehat{OAP}=\widehat{OAQ}$ (vì OA là tia phân giác của $\widehat{BAC}$) và $\widehat{OPA}=\widehat{OQA}=90^\circ$ (vì d vuông góc với OH tại H). Do đó tam giác OAP và tam giác OAQ đồng dạng (g-g). Suy ra $OP=OQ$ (cặp cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng). c) Ta có $OA=2R$ nên $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=30^\circ$. Suy ra $\widehat{BOC}=120^\circ$. Ta có $\widehat{BIC}=90^\circ$ (giao điểm của hai tiếp tuyến với đường tròn tạo với tiếp điểm một góc vuông). Suy ra $\widehat{IBC}=30^\circ$. Mà H là trung điểm của đoạn thẳng BI nên $\widehat{OBH}=\widehat{OIH}=60^\circ$. Suy ra $\widehat{OHB}=30^\circ$. Suy ra $\widehat{OPB}=60^\circ$. Suy ra $\widehat{POA}=30^\circ$. Suy ra $OP=R$. Suy ra $BC=2R\sqrt{3}$ và $S_{AOPQ}=R^2$. Bài 5. Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = -3x^2 - 4x\sqrt{y} + 16x - 2y + 2\sqrt{y} + 2024$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Biểu thức có chứa $\sqrt{y}$, do đó $y \geq 0$. Bước 2: Nhóm các hạng tử để tạo thành các bình phương: Ta nhóm lại như sau: \[ P = -3(x^2 - \frac{16}{3}x) - 2(y - \sqrt{y}) + 2024 \] Bước 3: Hoàn thiện bình phương: Nhóm các hạng tử liên quan đến $x$: \[ x^2 - \frac{16}{3}x = \left( x - \frac{8}{3} \right)^2 - \left( \frac{8}{3} \right)^2 \] \[ x^2 - \frac{16}{3}x = \left( x - \frac{8}{3} \right)^2 - \frac{64}{9} \] Nhóm các hạng tử liên quan đến $y$: \[ y - \sqrt{y} = \left( \sqrt{y} - \frac{1}{2} \right)^2 - \left( \frac{1}{2} \right)^2 \] \[ y - \sqrt{y} = \left( \sqrt{y} - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} \] Bước 4: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ P = -3 \left[ \left( x - \frac{8}{3} \right)^2 - \frac{64}{9} \right] - 2 \left[ \left( \sqrt{y} - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4} \right] + 2024 \] \[ P = -3 \left( x - \frac{8}{3} \right)^2 + \frac{64}{3} - 2 \left( \sqrt{y} - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{1}{2} + 2024 \] \[ P = -3 \left( x - \frac{8}{3} \right)^2 - 2 \left( \sqrt{y} - \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{64}{3} + \frac{1}{2} + 2024 \] Bước 5: Tính tổng các hằng số: \[ \frac{64}{3} + \frac{1}{2} + 2024 = \frac{128}{6} + \frac{3}{6} + 2024 = \frac{131}{6} + 2024 = \frac{131}{6} + \frac{12144}{6} = \frac{12275}{6} \] Bước 6: Kết luận giá trị lớn nhất: Biểu thức $P$ đạt giá trị lớn nhất khi các bình phương $(x - \frac{8}{3})^2$ và $(\sqrt{y} - \frac{1}{2})^2$ đều bằng 0, tức là: \[ x = \frac{8}{3}, \quad \sqrt{y} = \frac{1}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{4} \] Giá trị lớn nhất của $P$ là: \[ P_{max} = \frac{12275}{6} \] Đáp số: Giá trị lớn nhất của $P$ là $\frac{12275}{6}$, đạt được khi $x = \frac{8}{3}$ và $y = \frac{1}{4}$.