jdijdjdjdj

Câu 1 1. Giải phương trình: $x^2 - x - 20 = 0$ Phương pháp giải: - Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai. Bước 1: Tìm hai số có tổng là -1 và tích là -20. - Các số đó là 4 và -5. Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng nhân tử: \[ x^2 - x - 20 = (x - 5)(x + 4) = 0 \] Bước 3: Giải phương trình bằng cách đặt mỗi nhân tử bằng 0: \[ x - 5 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x + 4 = 0 \] \[ x = 5 \quad \text{hoặc} \quad x = -4 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \( x = 5 \) hoặc \( x = -4 \). 2. Giải hệ phương trình: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y = -2 \\ \frac{x + 6}{4} - \frac{y}{6} = 1 \end{array} \right. \] Phương pháp giải: - Ta sử dụng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng trừ để giải hệ phương trình. Bước 1: Nhân cả hai vế của phương trình thứ hai với 12 để loại bỏ mẫu số: \[ 12 \left( \frac{x + 6}{4} - \frac{y}{6} \right) = 12 \cdot 1 \] \[ 3(x + 6) - 2y = 12 \] \[ 3x + 18 - 2y = 12 \] \[ 3x - 2y = -6 \] Bước 2: Ta có hệ phương trình mới: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y = -2 \\ 3x - 2y = -6 \end{array} \right. \] Bước 3: Nhân phương trình thứ nhất với 2 để dễ dàng trừ: \[ 2(2x - y) = 2(-2) \] \[ 4x - 2y = -4 \] Bước 4: Trừ phương trình này từ phương trình thứ hai: \[ (3x - 2y) - (4x - 2y) = -6 - (-4) \] \[ 3x - 2y - 4x + 2y = -6 + 4 \] \[ -x = -2 \] \[ x = 2 \] Bước 5: Thay \( x = 2 \) vào phương trình \( 2x - y = -2 \): \[ 2(2) - y = -2 \] \[ 4 - y = -2 \] \[ y = 6 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \( x = 2 \) và \( y = 6 \). 3. Rút gọn biểu thức \( A = 1 - \frac{3}{\sqrt{x} + 3} : \left( \frac{x - 2\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} - 6} - \frac{x - 9}{x + 6\sqrt{x} + 9} \right) \) với \( x \geq 0 \) và \( x \neq 4 \). Phương pháp giải: - Ta thực hiện các phép toán đại số và rút gọn biểu thức. Bước 1: Xác định điều kiện xác định: \[ x \geq 0 \quad \text{và} \quad x \neq 4 \] Bước 2: Rút gọn từng phần của biểu thức: \[ \frac{x - 2\sqrt{x}}{x + \sqrt{x} - 6} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} \] \[ \frac{x - 9}{x + 6\sqrt{x} + 9} = \frac{(x - 9)}{(\sqrt{x} + 3)^2} = \frac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} + 3)^2} = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} \] Bước 3: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ A = 1 - \frac{3}{\sqrt{x} + 3} : \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 3} \right) \] \[ A = 1 - \frac{3}{\sqrt{x} + 3} : \left( \frac{\sqrt{x} - (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x} + 3} \right) \] \[ A = 1 - \frac{3}{\sqrt{x} + 3} : \left( \frac{3}{\sqrt{x} + 3} \right) \] \[ A = 1 - \frac{3}{\sqrt{x} + 3} \times \frac{\sqrt{x} + 3}{3} \] \[ A = 1 - 1 \] \[ A = 0 \] Vậy biểu thức đã rút gọn là: \( A = 0 \). Câu 2 Để tính xác suất của các biến cố E, F và G, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng trường hợp có thể xảy ra khi quay hai tấm bìa cứng A và B. Biến cố E: "Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào bằng 6" - Các cặp số có tích bằng 6 là: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1) - Trên tấm bìa A có các số: 1, 2, 3 - Trên tấm bìa B có các số: 1, 2, 3, 4, 5 Các cặp số có thể xảy ra: - (2, 3): Mũi tên trên A chỉ vào số 2 và mũi tên trên B chỉ vào số 3 - (3, 2): Mũi tên trên A chỉ vào số 3 và mũi tên trên B chỉ vào số 2 Vậy có 2 trường hợp thỏa mãn. Tổng số trường hợp có thể xảy ra là: 3 (số trên A) × 5 (số trên B) = 15 Xác suất của biến cố E là: \[ P(E) = \frac{2}{15} \] Biến cố F: "Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào nhỏ hơn 5" - Các cặp số có tích nhỏ hơn 5 là: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (3, 1) Các cặp số có thể xảy ra: - (1, 1): Mũi tên trên A chỉ vào số 1 và mũi tên trên B chỉ vào số 1 - (1, 2): Mũi tên trên A chỉ vào số 1 và mũi tên trên B chỉ vào số 2 - (1, 3): Mũi tên trên A chỉ vào số 1 và mũi tên trên B chỉ vào số 3 - (1, 4): Mũi tên trên A chỉ vào số 1 và mũi tên trên B chỉ vào số 4 - (2, 1): Mũi tên trên A chỉ vào số 2 và mũi tên trên B chỉ vào số 1 - (2, 2): Mũi tên trên A chỉ vào số 2 và mũi tên trên B chỉ vào số 2 - (3, 1): Mũi tên trên A chỉ vào số 3 và mũi tên trên B chỉ vào số 1 Vậy có 7 trường hợp thỏa mãn. Xác suất của biến cố F là: \[ P(F) = \frac{7}{15} \] Biến cố G: "Tích hai số ở hình quạt mà hai mũi tên chỉ vào chẵn" - Các cặp số có tích chẵn là: (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 2), (3, 4) Các cặp số có thể xảy ra: - (1, 2): Mũi tên trên A chỉ vào số 1 và mũi tên trên B chỉ vào số 2 - (1, 4): Mũi tên trên A chỉ vào số 1 và mũi tên trên B chỉ vào số 4 - (2, 1): Mũi tên trên A chỉ vào số 2 và mũi tên trên B chỉ vào số 1 - (2, 2): Mũi tên trên A chỉ vào số 2 và mũi tên trên B chỉ vào số 2 - (2, 3): Mũi tên trên A chỉ vào số 2 và mũi tên trên B chỉ vào số 3 - (2, 4): Mũi tên trên A chỉ vào số 2 và mũi tên trên B chỉ vào số 4 - (2, 5): Mũi tên trên A chỉ vào số 2 và mũi tên trên B chỉ vào số 5 - (3, 2): Mũi tên trên A chỉ vào số 3 và mũi tên trên B chỉ vào số 2 - (3, 4): Mũi tên trên A chỉ vào số 3 và mũi tên trên B chỉ vào số 4 Vậy có 9 trường hợp thỏa mãn. Xác suất của biến cố G là: \[ P(G) = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \] Kết luận - Xác suất của biến cố E: \( P(E) = \frac{2}{15} \) - Xác suất của biến cố F: \( P(F) = \frac{7}{15} \) - Xác suất của biến cố G: \( P(G) = \frac{3}{5} \) Câu 3 Gọi số người ban tổ chức dự kiến tham gia trồng cây là x (người, điều kiện: x > 4). Số cây mỗi người dự kiến trồng là $\frac{80}{x}$ (cây). Thực tế số người tham gia trồng cây là x - 4 (người). Số cây mỗi người thực tế trồng là $\frac{80}{x-4}$ (cây). Theo đề bài, mỗi người thực tế trồng nhiều hơn mỗi người dự kiến 1 cây, ta có phương trình: $\frac{80}{x-4} - \frac{80}{x} = 1$ Quy đồng mẫu số và giải phương trình: $\frac{80x - 80(x-4)}{x(x-4)} = 1$ $\frac{80x - 80x + 320}{x(x-4)} = 1$ $\frac{320}{x(x-4)} = 1$ 320 = x(x - 4) x^2 - 4x - 320 = 0 Phương trình này có các nghiệm là x = 20 hoặc x = -16 (loại vì x > 4). Vậy số người ban tổ chức dự kiến tham gia trồng cây là 20 người. Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính độ dài đoạn CH của dây cáp 1. Xác định phương trình của parabol: - Parabol có dạng $y = ax^2$. - Điểm H cách tâm O của cây cầu là 100m, tức là tọa độ của H là $(100, y_H)$. - Điểm C nằm trên đỉnh tháp, có tọa độ $(0, 75)$. 2. Tìm giá trị của \(a\): - Vì điểm C nằm trên đỉnh tháp, ta có $y_C = 75$ khi $x = 0$. Do đó, $75 = a \cdot 0^2$, suy ra $a$ không ảnh hưởng ở đây. - Để tìm \(a\), ta sử dụng điểm H: $y_H = a \cdot 100^2$. - Ta cần biết giá trị của \(y_H\). Giả sử \(y_H\) là giá trị của \(y\) khi \(x = 100\). 3. Tính \(y_H\): - Ta có $y_H = a \cdot 100^2$. - Vì \(y_H\) là giá trị của \(y\) khi \(x = 100\), ta cần biết giá trị của \(a\). Ta giả sử \(a\) là hằng số đã biết hoặc có thể tính toán từ dữ liệu khác. 4. Tính độ dài đoạn CH: - Độ dài đoạn CH là khoảng cách giữa hai điểm C và H. - Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm: \[ CH = \sqrt{(x_H - x_C)^2 + (y_H - y_C)^2} \] - Thay vào các giá trị: \[ CH = \sqrt{(100 - 0)^2 + (y_H - 75)^2} \] b) Tính khoảng cách giữa hai điểm M và N 1. Xác định phương trình đường thẳng: - Đường thẳng vuông góc với trục Oy tại điểm E(0, 27) có phương trình là \(y = 27\). 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và parabol: - Thay \(y = 27\) vào phương trình parabol \(y = ax^2\): \[ 27 = ax^2 \] - Giải phương trình này để tìm \(x\): \[ x^2 = \frac{27}{a} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{27}{a}} \] 3. Tìm tọa độ của các điểm M và N: - Điểm M có tọa độ \((\sqrt{\frac{27}{a}}, 27)\). - Điểm N có tọa độ \((- \sqrt{\frac{27}{a}}, 27)\). 4. Tính khoảng cách giữa hai điểm M và N: - Khoảng cách giữa hai điểm M và N là: \[ MN = \sqrt{\left(\sqrt{\frac{27}{a}} - (-\sqrt{\frac{27}{a}})\right)^2 + (27 - 27)^2} \] \[ MN = \sqrt{\left(2\sqrt{\frac{27}{a}}\right)^2} \] \[ MN = 2\sqrt{\frac{27}{a}} \] Kết luận: - Độ dài đoạn CH của dây cáp là $\sqrt{(100 - 0)^2 + (y_H - 75)^2}$. - Khoảng cách giữa hai điểm M và N là $2\sqrt{\frac{27}{a}}$. Câu 5 a) Với $m=0$, phương trình trở thành: \[ x^2 - 2(-1)x - 5 = 0 \] \[ x^2 + 2x - 5 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai $ax^2 + bx + c = 0$: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, $a = 1$, $b = 2$, $c = -5$. Ta có: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 20}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} \] \[ x = -1 \pm \sqrt{6} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = -1 + \sqrt{6}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{6} \] b) Biết phương trình có một nghiệm $x_1 = 2$, ta thay vào phương trình để tìm $m$: \[ 2^2 - 2(m-1) \cdot 2 + m - 5 = 0 \] \[ 4 - 4(m-1) + m - 5 = 0 \] \[ 4 - 4m + 4 + m - 5 = 0 \] \[ 3 - 3m = 0 \] \[ 3 = 3m \] \[ m = 1 \] Thay $m = 1$ vào phương trình ban đầu: \[ x^2 - 2(1-1)x + 1 - 5 = 0 \] \[ x^2 - 4 = 0 \] \[ x^2 = 4 \] \[ x = \pm 2 \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x_1 = 2, \quad x_2 = -2 \] Đáp số: a) Nghiệm của phương trình là $x_1 = -1 + \sqrt{6}$ và $x_2 = -1 - \sqrt{6}$. b) $m = 1$, nghiệm của phương trình là $x_1 = 2$ và $x_2 = -2$.