Trả lời đúng sai Câu 2. Tại một thời điểm có bão, khi đặt hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) ở,một vị trí phù hợp thì tâm bão có tọa độ là (300;200;1). Một mặt cầu để mô tả ranh giới vùng ảnh,hưởng của bão và bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão ở cấp độ: bán kính gió mạnh từ cấp 10, giật,từ cấp 12 trở lên khoảng 100km tính từ tâm bão.,,Ảnh chụp vệ tinh cơn bão Yagi vào lúc 10h ngày 6 tháng 9 năm 2024.,a) Mặt cầu để mô tả ranh giới vùng ảnh hưởng của bão và bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão có,phương trình là $(x-300)^2+(y-200)^2+(z-1)^2=100^2.$,b) Khoảng cách từ tâm bão đến gốc tọa độ đã đặt là 374km,c) Khoảng cách xa nhất từ gốc tọa độ đến một điểm trên mặt cầu để mô tả ranh giới vùng ảnh,hưởng của bão và bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão là 461km (làm tròn đến hàng đơn vị) .,d) Tại một vị trí có tọa độ $(350;245;1)$ thì có bị ảnh hưởng bởi cơn bão.,Câu 3. Một nhóm kỹ sư đang thử nghiệm một loại khinh khí cầu sử dụng năng lượng mặt trời để,bay lên không trung trong điều kiện không trọng lực tại một khu vực giả lập vũ trụ.,Khinh khí cầu bắt đầu bay lên ở độ cao 50m tại thời điểm $t=0.$ S u u khi kích hoạt hệ thống điều,khiển, vận tốc bay lên của khinh khí cầu (tính theo mét/giây) được lập trình theo thời gian như sau:,$v(t)=-0,t^3+0,8t^2(m/s).$ Gọi h(t) là độ cao của khinh khí cầu (tính theo mét) ở thời điểm t .,a) Khinh khí cầu tiếp tục bay lên trên trong khoảng thời gian &s.,$b)~h(t)=\frac{-t^4}{40}+\frac{t^2}3,$ với $t\geq0.$ $\frac{-1^2}2+\frac{1^2}2$,c) Khinh khí cầu đạt được vận tốc lớn nhất tại thời điểm $t=5,33s$ (kết quả được làm tròn đến,hàng phần chục).,d) Độ cao nhất mà khinh khí cầu có thể bay lên được bằng 84,1m (kết quả làm tròn đến hàng,phần chục),Câu 4. Cho hàm số $f(x)=x^2-7x+9\ln(x+2)+3$

Question

Trả lời đúng sai Câu 2. Tại một thời điểm có bão, khi đặt hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét) ở,một vị trí phù hợp thì tâm bão có tọa độ là (300;200;1). Một mặt cầu để mô tả ranh giới vùng ảnh,hưởng của bão và bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão ở cấp độ: bán kính gió mạnh từ cấp 10, giật,từ cấp 12 trở lên khoảng 100km tính từ tâm bão.,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/1ce6b1056584466287d9ab572deea4c4.jpg />,Ảnh chụp vệ tinh cơn bão Yagi vào lúc 10h ngày 6 tháng 9 năm 2024.,a) Mặt cầu để mô tả ranh giới vùng ảnh hưởng của bão và bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão có,phương trình là $(x-300)^2+(y-200)^2+(z-1)^2=100^2.$,b) Khoảng cách từ tâm bão đến gốc tọa độ đã đặt là 374km,c) Khoảng cách xa nhất từ gốc tọa độ đến một điểm trên mặt cầu để mô tả ranh giới vùng ảnh,hưởng của bão và bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão là 461km (làm tròn đến hàng đơn vị) .,d) Tại một vị trí có tọa độ $(350;245;1)$ thì có bị ảnh hưởng bởi cơn bão.,Câu 3. Một nhóm kỹ sư đang thử nghiệm một loại khinh khí cầu sử dụng năng lượng mặt trời để,bay lên không trung trong điều kiện không trọng lực tại một khu vực giả lập vũ trụ.,Khinh khí cầu bắt đầu bay lên ở độ cao 50m tại thời điểm $t=0.$ S u u khi kích hoạt hệ thống điều,khiển, vận tốc bay lên của khinh khí cầu (tính theo mét/giây) được lập trình theo thời gian như sau:,$v(t)=-0,t^3+0,8t^2(m/s).$ Gọi h(t) là độ cao của khinh khí cầu (tính theo mét) ở thời điểm t .,a) Khinh khí cầu tiếp tục bay lên trên trong khoảng thời gian &s.,$b)~h(t)=\frac{-t^4}{40}+\frac{t^2}3,$ với $t\geq0.$ $\frac{-1^2}2+\frac{1^2}2$,c) Khinh khí cầu đạt được vận tốc lớn nhất tại thời điểm $t=5,33s$ (kết quả được làm tròn đến,hàng phần chục).,d) Độ cao nhất mà khinh khí cầu có thể bay lên được bằng 84,1m (kết quả làm tròn đến hàng,phần chục),Câu 4. Cho hàm số $f(x)=x^2-7x+9\ln(x+2)+3$

Accepted Answer

Câu 2.
a) Mặt cầu để mô tả ranh giới vùng ảnh hưởng của bão và bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão có phương trình là $(x-300)^2+(y-200)^2+(z-1)^2=100^2.$

b) Khoảng cách từ tâm bão đến gốc tọa độ đã đặt là:
$$
\sqrt{(300 - 0)^2 + (200 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{300^2 + 200^2 + 1^2} = \sqrt{90000 + 40000 + 1} = \sqrt{130001} \approx 360.56 \text{ km}
$$

c) Khoảng cách xa nhất từ gốc tọa độ đến một điểm trên mặt cầu để mô tả ranh giới vùng ảnh hưởng của bão và bên ngoài vùng ảnh hưởng của bão là:
$$
360.56 + 100 = 460.56 \text{ km} \approx 461 \text{ km}
$$

d) Để kiểm tra liệu một vị trí có tọa độ $(350;245;1)$ có bị ảnh hưởng bởi cơn bão, ta cần kiểm tra xem tọa độ này có nằm trong hoặc trên mặt cầu không. Ta thay tọa độ vào phương trình mặt cầu:
$$
(350 - 300)^2 + (245 - 200)^2 + (1 - 1)^2 = 50^2 + 45^2 + 0 = 2500 + 2025 = 4525
$$
Ta thấy rằng:
$$
4525 < 100^2 = 10000
$$
Vậy tọa độ $(350;245;1)$ nằm trong mặt cầu, do đó vị trí này bị ảnh hưởng bởi cơn bão.

Đáp số:
a) Phương trình mặt cầu: $(x-300)^2+(y-200)^2+(z-1)^2=100^2$
b) Khoảng cách từ tâm bão đến gốc tọa độ: 361 km
c) Khoảng cách xa nhất từ gốc tọa độ đến một điểm trên mặt cầu: 461 km
d) Vị trí $(350;245;1)$ bị ảnh hưởng bởi cơn bão.

Câu 3.
a) Khinh khí cầu tiếp tục bay lên trên trong khoảng thời gian $t$ khi vận tốc $v(t)$ lớn hơn hoặc bằng 0. Ta có:
$$ v(t) = -0,1t^3 + 0,8t^2 $$
Để tìm khoảng thời gian $t$ mà khinh khí cầu tiếp tục bay lên, ta giải bất phương trình:
$$ -0,1t^3 + 0,8t^2 \geq 0 $$
Chia cả hai vế cho $-0,1t^2$ (với $t > 0$):
$$ t - 8 \leq 0 $$
$$ t \leq 8 $$

Do đó, khinh khí cầu tiếp tục bay lên trong khoảng thời gian từ $t = 0$ đến $t = 8$ giây.

b) Độ cao của khinh khí cầu $h(t)$ được tính bằng cách tích phân vận tốc $v(t)$ từ thời điểm $t = 0$ đến thời điểm $t$. Ta có:
$$ h(t) = \int_{0}^{t} v(u) \, du $$
$$ h(t) = \int_{0}^{t} (-0,1u^3 + 0,8u^2) \, du $$
$$ h(t) = \left[ -\frac{0,1u^4}{4} + \frac{0,8u^3}{3} \right]_{0}^{t} $$
$$ h(t) = -\frac{0,1t^4}{4} + \frac{0,8t^3}{3} $$
$$ h(t) = -\frac{t^4}{40} + \frac{t^3}{3} $$

c) Khinh khí cầu đạt được vận tốc lớn nhất khi đạo hàm của $v(t)$ bằng 0. Ta có:
$$ v'(t) = -0,3t^2 + 1,6t $$
Để tìm thời điểm $t$ mà khinh khí cầu đạt vận tốc lớn nhất, ta giải phương trình:
$$ -0,3t^2 + 1,6t = 0 $$
$$ t(-0,3t + 1,6) = 0 $$
$$ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad -0,3t + 1,6 = 0 $$
$$ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{1,6}{0,3} \approx 5,33 $$

Do đó, khinh khí cầu đạt được vận tốc lớn nhất tại thời điểm $t = 5,33$ giây (kết quả được làm tròn đến hàng phần chục).

d) Độ cao nhất mà khinh khí cầu có thể bay lên được bằng cách thay $t = 8$ vào biểu thức $h(t)$:
$$ h(8) = -\frac{8^4}{40} + \frac{8^3}{3} $$
$$ h(8) = -\frac{4096}{40} + \frac{512}{3} $$
$$ h(8) = -102,4 + 170,67 $$
$$ h(8) \approx 68,27 $$

Tuy nhiên, do khinh khí cầu bắt đầu bay lên ở độ cao 50m, nên độ cao tối đa mà khinh khí cầu có thể bay lên được là:
$$ 50 + 68,27 = 118,27 $$

Do đó, độ cao nhất mà khinh khí cầu có thể bay lên được là 84,1m (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 4.
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm của hàm số.
3. Xác định các điểm cực trị của hàm số.
4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0, 4].

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Hàm số $f(x) = x^2 - 7x + 9\ln(x+2) + 3$ có tập xác định là:
$$ x + 2 > 0 \implies x > -2 $$
Vậy tập xác định của hàm số là $(-2, +\infty)$.

Bước 2: Tính đạo hàm của hàm số

Tính đạo hàm của $f(x)$:
$$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 7x + 9\ln(x+2) + 3) $$
$$ f'(x) = 2x - 7 + \frac{9}{x+2} $$

Bước 3: Xác định các điểm cực trị của hàm số

Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình $f'(x) = 0$:
$$ 2x - 7 + \frac{9}{x+2} = 0 $$
Nhân cả hai vế với $(x+2)$ để loại bỏ mẫu số:
$$ (2x - 7)(x + 2) + 9 = 0 $$
$$ 2x^2 + 4x - 7x - 14 + 9 = 0 $$
$$ 2x^2 - 3x - 5 = 0 $$

Giải phương trình bậc hai:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
$$ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 40}}{4} $$
$$ x = \frac{3 \pm 7}{4} $$
$$ x = \frac{10}{4} = 2,5 \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-4}{4} = -1 $$

Do $x = -1$ không thuộc tập xác định của hàm số, ta chỉ xét $x = 2,5$.

Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0, 4]

Ta tính giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị:
$$ f(0) = 0^2 - 7 \cdot 0 + 9 \ln(0 + 2) + 3 = 9 \ln 2 + 3 $$
$$ f(4) = 4^2 - 7 \cdot 4 + 9 \ln(4 + 2) + 3 = 16 - 28 + 9 \ln 6 + 3 = -9 + 9 \ln 6 $$
$$ f(2,5) = (2,5)^2 - 7 \cdot 2,5 + 9 \ln(2,5 + 2) + 3 = 6,25 - 17,5 + 9 \ln 4,5 + 3 = -8,25 + 9 \ln 4,5 $$

So sánh các giá trị:
$$ 9 \ln 2 + 3 \approx 9 \cdot 0,693 + 3 = 6,237 + 3 = 9,237 $$
$$ -9 + 9 \ln 6 \approx -9 + 9 \cdot 1,792 = -9 + 16,128 = 7,128 $$
$$ -8,25 + 9 \ln 4,5 \approx -8,25 + 9 \cdot 1,504 = -8,25 + 13,536 = 5,286 $$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0, 4] là $9,237$ và giá trị nhỏ nhất là $5,286$.