cách giải ngắn gọn và đáp án

Câu 3. Phương sai của một mẫu số liệu là bình phương của độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu là 2,5. Phương sai của mẫu số liệu là: \[ 2,5^2 = 6,25 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu đó là 6,25. Đáp án đúng là: A. 6,25 Câu 4. Để giải phương trình $\ln(x + 10) = 0$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với phương trình $\ln(x + 10)$, yêu cầu là $x + 10 > 0$. - Do đó, $x > -10$. 2. Giải phương trình: - Ta có $\ln(x + 10) = 0$. - Biết rằng $\ln(1) = 0$, suy ra $x + 10 = 1$. - Giải phương trình $x + 10 = 1$, ta được $x = 1 - 10 = -9$. 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Thay $x = -9$ vào điều kiện $x > -10$, ta thấy $-9 > -10$ là đúng. Vậy nghiệm của phương trình $\ln(x + 10) = 0$ là $x = -9$. Đáp án đúng là: D. -9. Câu 5. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos 2x \), chúng ta sẽ áp dụng công thức nguyên hàm của hàm cosinus và quy tắc nguyên hàm của hàm hợp. Bước 1: Xác định nguyên hàm của \( \cos u \): \[ \int \cos u \, du = \sin u + C \] Bước 2: Áp dụng vào hàm số \( f(x) = \cos 2x \): - Gọi \( u = 2x \), vậy \( du = 2 \, dx \) hoặc \( dx = \frac{1}{2} \, du \). Bước 3: Thay vào công thức nguyên hàm: \[ \int \cos 2x \, dx = \int \cos u \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \cos u \, du \] Bước 4: Tính nguyên hàm: \[ \frac{1}{2} \int \cos u \, du = \frac{1}{2} \sin u + C \] Bước 5: Quay lại biến số ban đầu: \[ \frac{1}{2} \sin u + C = \frac{1}{2} \sin 2x + C \] Vậy, nguyên hàm của hàm số \( f(x) = \cos 2x \) là: \[ \frac{1}{2} \sin 2x + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~\frac{1}{2}\sin 2x + C \] Câu 6. Để xác định khẳng định nào sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định dựa trên hình vẽ và tính chất của tích phân. 1. Khẳng định A: \( S = \int^0_{-2} f(x) \, dx + \int^2_0 f(x) \, dx \) - Tích phân từ \(-2\) đến \(0\) đại diện cho diện tích phần trên trục hoành. - Tích phân từ \(0\) đến \(2\) đại diện cho diện tích phần dưới trục hoành. - Tổng hai tích phân này sẽ cho diện tích tổng cộng của hình phẳng, nhưng không đúng vì tích phân từ \(0\) đến \(2\) sẽ là âm (do hàm số nằm dưới trục hoành). 2. Khẳng định B: \( S = -\int^0_{-2} f(x) \, dx - \int^2_0 f(x) \, dx \) - Tích phân từ \(-2\) đến \(0\) đại diện cho diện tích phần trên trục hoành. - Tích phân từ \(0\) đến \(2\) đại diện cho diện tích phần dưới trục hoành. - Nhân cả hai tích phân với \(-1\) sẽ chuyển đổi dấu của chúng, nhưng không đúng vì tích phân từ \(0\) đến \(2\) đã âm rồi. 3. Khẳng định C: \( S = \int^2_{-2} |f(x)| \, dx \) - Tích phân từ \(-2\) đến \(2\) của giá trị tuyệt đối của \(f(x)\) sẽ tính tổng diện tích của cả hai phần trên và dưới trục hoành, đúng theo định nghĩa diện tích hình phẳng. 4. Khẳng định D: \( S = |\int^0_{-2} f(x) \, dx| + |\int^2_0 f(x) \, dx| \) - Tích phân từ \(-2\) đến \(0\) đại diện cho diện tích phần trên trục hoành. - Tích phân từ \(0\) đến \(2\) đại diện cho diện tích phần dưới trục hoành. - Lấy giá trị tuyệt đối của cả hai tích phân sẽ cho diện tích tổng cộng của hình phẳng, đúng theo định nghĩa diện tích hình phẳng. Từ đó, khẳng định sai là: \[ \boxed{B} \] Câu 7. Trục Oy trong không gian tọa độ Oxyz là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với trục y. Phương trình tham số của trục Oy sẽ có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \end{array} \right. \] Giải thích từng bước: 1. Điều kiện xác định: Trục Oy nằm trên mặt phẳng Oyz, do đó tọa độ x luôn bằng 0. 2. Tham số t: Biến số t là tham số tự do, đại diện cho mọi giá trị thực của y. 3. Tọa độ z: Trên trục Oy, tọa độ z luôn bằng 0. Do đó, phương trình tham số của trục Oy là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \end{array} \right. \] Đáp án đúng là: \( C.\left\{\begin{array}{l}x=0\\y=t\\z=0\end{array}\right.\) Câu 8. Để tìm tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{-x + 7}{2x + 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{-x + 7}{2x + 1} \] 2. Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{-x + 7}{x}}{\frac{2x + 1}{x}} = \lim_{x \to \infty} \frac{-1 + \frac{7}{x}}{2 + \frac{1}{x}} \] 3. Tính giới hạn của các phân số trong tử và mẫu: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{-1 + \frac{7}{x}}{2 + \frac{1}{x}} = \frac{-1 + 0}{2 + 0} = \frac{-1}{2} \] 4. Kết luận: Tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{-x + 7}{2x + 1} \) là \( y = -\frac{1}{2} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~y = -\frac{1}{2} \] Câu 9. Để giải bất phương trình $\log(2x+4) > \log(x-1)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log(2x + 4)$, ta có: $2x + 4 > 0 \Rightarrow x > -2$. - Đối với $\log(x - 1)$, ta có: $x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1$. Vậy ĐKXĐ chung là: $x > 1$. 2. Giải bất phương trình: - Vì hàm số $\log$ là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó, nên ta có: \[ \log(2x + 4) > \log(x - 1) \Rightarrow 2x + 4 > x - 1 \] - Giải bất phương trình $2x + 4 > x - 1$: \[ 2x + 4 > x - 1 \Rightarrow 2x - x > -1 - 4 \Rightarrow x > -5 \] 3. Lấy giao của điều kiện xác định và tập nghiệm của bất phương trình: - Điều kiện xác định là $x > 1$. - Tập nghiệm của bất phương trình là $x > -5$. Giao của hai tập này là $x > 1$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình $\log(2x+4) > \log(x-1)$ là $(1; +\infty)$. Đáp án đúng là: $B.~(1;+\infty)$. Câu 10. Để viết phương trình của mặt cầu tâm \( I(0; -3; 0) \) và tiếp xúc với mặt phẳng \( (Oxz) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính của mặt cầu: Mặt cầu tâm \( I(0; -3; 0) \) tiếp xúc với mặt phẳng \( (Oxz) \). Mặt phẳng \( (Oxz) \) có phương trình là \( y = 0 \). Khoảng cách từ tâm \( I(0; -3; 0) \) đến mặt phẳng \( y = 0 \) chính là giá trị tuyệt đối của tọa độ \( y \) của điểm \( I \): \[ R = |-3| = 3 \] 2. Viết phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu tâm \( I(a; b; c) \) và bán kính \( R \) là: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] Thay \( a = 0 \), \( b = -3 \), \( c = 0 \) và \( R = 3 \) vào phương trình trên, ta được: \[ (x - 0)^2 + (y + 3)^2 + (z - 0)^2 = 3^2 \] \[ x^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 9 \] Vậy phương trình của mặt cầu là: \[ x^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 9 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~x^2 + (y + 3)^2 + z^2 = 9 \] Câu 11. Để tìm công bội \( q \) của cấp số nhân \((u_n)\), ta sử dụng công thức của số hạng tổng quát của cấp số nhân: \[ u_n = u_1 \cdot q^{n-1} \] Ta biết rằng \( u_3 = -2 \) và \( u_6 = 128 \). Áp dụng công thức trên cho \( u_3 \): \[ u_3 = u_1 \cdot q^2 = -2 \] Áp dụng công thức trên cho \( u_6 \): \[ u_6 = u_1 \cdot q^5 = 128 \] Bây giờ, ta chia \( u_6 \) cho \( u_3 \): \[ \frac{u_6}{u_3} = \frac{u_1 \cdot q^5}{u_1 \cdot q^2} = \frac{128}{-2} \] Simplifying the left-hand side: \[ q^3 = \frac{128}{-2} = -64 \] Giải phương trình \( q^3 = -64 \): \[ q = \sqrt[3]{-64} = -4 \] Vậy công bội \( q \) của cấp số nhân \((u_n)\) là \( -4 \). Đáp án đúng là: \( C.~q = -4 \) Câu 12. Thể tích V của khối chóp được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Trong bài này, diện tích đáy là \( 9a^2 \) và chiều cao là \( 8a \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \frac{1}{3} \times 9a^2 \times 8a \] Tính toán tiếp: \[ V = \frac{1}{3} \times 72a^3 \] \[ V = 24a^3 \] Vậy thể tích V của khối chóp là: \[ V = 24a^3 \] Đáp án đúng là: \( A.~V=24a^3 \).