Giúp tôiiiiiiii

Câu 1: Ta có: $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2025x^3}{x^3+e^{x^3}}=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2025}{1+e^{x^3}}=0.$ Câu 2: Ta có: $\int_{\frac{1}{\pi}-1}^{+\infty}(x+1)^{-2}\cos\frac{1}{x+1}dx=\int_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}\frac{\cos t}{t^2}dt.$ Xét tích phân suy rộng \(I=\int_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}\frac{\cos t}{t^2}dt.\) Ta có: $\left|\frac{\cos t}{t^2}\right| \leq \frac{1}{t^2},\quad \forall t \geq \frac{1}{\pi}.$ Mà tích phân suy rộng \(\int_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}\frac{1}{t^2}dt\) hội tụ. Suy ra tích phân suy rộng \(I=\int_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}\frac{\cos t}{t^2}dt\) hội tụ. Ta có: $I=\int_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}\frac{\cos t}{t^2}dt=-\int_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}\frac{1}{t}d(\sin t)=-\left[\frac{\sin t}{t}\right]_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}+\int_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt.$ Ta có: $\lim_{t \to +\infty}\frac{\sin t}{t}=0.$ Do đó: $-\left[\frac{\sin t}{t}\right]_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}=-\left(0-\pi \sin \frac{1}{\pi}\right)=\pi \sin \frac{1}{\pi}.$ Xét tích phân suy rộng \(J=\int_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt.\) Ta có: $\left|\frac{\sin t}{t}\right| \leq \frac{1}{t},\quad \forall t \geq \frac{1}{\pi}.$ Mà tích phân suy rộng \(\int_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}\frac{1}{t}dt\) phân kỳ. Suy ra tích phân suy rộng \(J=\int_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt\) phân kỳ. Vậy tích phân suy rộng \(I=\int_{\frac{1}{\pi}}^{+\infty}\frac{\cos t}{t^2}dt\) hội tụ. Do đó tích phân suy rộng \(\int_{\frac{1}{\pi}-1}^{+\infty}(x+1)^{-2}\cos\frac{1}{x+1}dx\) hội tụ. Câu 3: Để tìm điểm cực trị của hàm số \( f(x, y) = 2024 + 4x + 4y \) với ràng buộc \( 2x^2 + 2y^2 - 1 = 0 \), ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange. Bước 1: Thiết lập hàm Lagrange Hàm Lagrange được thiết lập như sau: \[ \mathcal{L}(x, y, \lambda) = 2024 + 4x + 4y + \lambda (2x^2 + 2y^2 - 1) \] Bước 2: Tính các đạo hàm riêng Tính các đạo hàm riêng của \(\mathcal{L}\) theo \(x\), \(y\), và \(\lambda\): \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 4 + \lambda \cdot 4x = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 4 + \lambda \cdot 4y = 0 \] \[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 2x^2 + 2y^2 - 1 = 0 \] Bước 3: Giải hệ phương trình Từ \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0\), ta có: \[ 4 + 4\lambda x = 0 \Rightarrow \lambda x = -1 \] Từ \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = 0\), ta có: \[ 4 + 4\lambda y = 0 \Rightarrow \lambda y = -1 \] Từ \(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0\), ta có: \[ 2x^2 + 2y^2 = 1 \] Bước 4: Tìm \(\lambda\), \(x\), và \(y\) Từ \(\lambda x = -1\) và \(\lambda y = -1\), suy ra: \[ x = y \] Thay \(x = y\) vào phương trình \(2x^2 + 2y^2 = 1\), ta có: \[ 2x^2 + 2x^2 = 1 \Rightarrow 4x^2 = 1 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2} \] Vì \(x = y\), nên \(y = \pm \frac{1}{2}\). Bước 5: Tìm các điểm cực trị Các điểm \((x, y)\) thỏa mãn là \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\) và \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\). Bước 6: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị Tính giá trị của hàm số tại các điểm tìm được: - Tại \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\): \[ f\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) = 2024 + 4 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{2} = 2024 + 2 + 2 = 2028 \] - Tại \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\): \[ f\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right) = 2024 + 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 2024 - 2 - 2 = 2020 \] Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 2028, đạt được tại điểm \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)\). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2020, đạt được tại điểm \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)\). Câu 4: Phương trình đặc trưng của dãy số đã cho là: ${x}^{2}-7x+10=0$ Giải phương trình đặc trưng ta được hai nghiệm phân biệt là: ${x}_{1}=2; {x}_{2}=5$ Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: ${u}_{n}^{(0)}={C}_{1}{2}^{n}+{C}_{2}{5}^{n}$ Trong đó ${C}_{1}, {C}_{2}$ là các hằng số tùy ý. Ta sẽ tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất dưới dạng: ${u}_{n}^{(r)}=A{7}^{n}$ Thay vào phương trình không thuần nhất ta được: $A{7}^{n+2}-7A{7}^{n+1}+10A{7}^{n}=30{7}^{n}$ $\Leftrightarrow A({7}^{2}-7\times 7+10)=30$ $\Leftrightarrow A=30$ Vậy nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất là: ${u}_{n}^{(r)}=30{7}^{n}$ Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là: ${u}_{n}={u}_{n}^{(0)}+{u}_{n}^{(r)}={C}_{1}{2}^{n}+{C}_{2}{5}^{n}+30{7}^{n}$ Vậy nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất là: ${u}_{n}={C}_{1}{2}^{n}+{C}_{2}{5}^{n}+30{7}^{n}$ Câu 5: Phương trình đặc trưng của phương trình vi phân \( y'' - 10y' + 25y = 25x + 65 \) là: \[ r^2 - 10r + 25 = 0 \] Giải phương trình đặc trưng: \[ r^2 - 10r + 25 = 0 \] \[ (r - 5)^2 = 0 \] \[ r = 5 \] (nghiệm kép) Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất tương ứng là: \[ y_h = C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x} \] Tiếp theo, ta tìm nghiệm riêng \( y_p \) của phương trình vi phân không thuần nhất. Vì vế phải của phương trình là đa thức bậc 1 \( 25x + 65 \), ta giả sử nghiệm riêng có dạng: \[ y_p = Ax + B \] Tính các đạo hàm: \[ y_p' = A \] \[ y_p'' = 0 \] Thay vào phương trình vi phân: \[ 0 - 10A + 25(Ax + B) = 25x + 65 \] \[ -10A + 25Ax + 25B = 25x + 65 \] So sánh hệ số của \( x \) và hằng số: \[ 25A = 25 \implies A = 1 \] \[ -10A + 25B = 65 \implies -10(1) + 25B = 65 \implies 25B = 75 \implies B = 3 \] Vậy nghiệm riêng là: \[ y_p = x + 3 \] Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và nghiệm riêng: \[ y = y_h + y_p \] \[ y = C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x} + x + 3 \] Đáp số: \[ y = C_1 e^{5x} + C_2 x e^{5x} + x + 3 \]