giải giúp em với các bác

Câu 1: a) Ta có \( f(0) = (0-2)e^0 = -2 \cdot 1 = -2 \). \( f(2) = (2-2)e^2 = 0 \cdot e^2 = 0 \). Vậy khẳng định này đúng. b) Ta có \( f'(x) = (x-2)'e^x + (x-2)(e^x)' = e^x + (x-2)e^x = (x-1)e^x \). Vậy khẳng định này đúng. c) Ta có \( f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x-1)e^x = 0 \Leftrightarrow x = 1 \). Vậy khẳng định này sai. d) Ta có \( f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \). Ta có \( f(0) = -2 \); \( f(1) = -e \approx -2,72 \); \( f(2) = 0 \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên \([0;2]\) là \(-e\). Vậy khẳng định này sai. Câu 2: Để giải quyết các câu hỏi liên quan đến hàm số \( y = f(x) = \frac{2x-3}{x+1} \), ta sẽ xem xét từng phần: a) Đạo hàm của hàm số: Ta cần tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x-3}{x+1} \). Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức: \[ y' = \frac{(2x-3)'(x+1) - (2x-3)(x+1)'}{(x+1)^2} \] Tính từng phần: - \((2x-3)' = 2\) - \((x+1)' = 1\) Thay vào công thức: \[ y' = \frac{2(x+1) - (2x-3)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 3}{(x+1)^2} = \frac{5}{(x+1)^2} \] Vậy đạo hàm của hàm số là \( y' = \frac{5}{(x+1)^2} \), không phải \(\frac{5}{x+1}\). Do đó, câu a) sai. b) Bảng biến thiên: Từ đạo hàm \( y' = \frac{5}{(x+1)^2} \), ta thấy \( y' > 0 \) với mọi \( x \neq -1 \). Điều này cho thấy hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định. Bảng biến thiên đã cho là đúng, vì hàm số đồng biến trên từng khoảng \((- \infty, -1)\) và \((-1, +\infty)\). c) Đường tiệm cận: - Đường tiệm cận đứng: Xảy ra khi mẫu số bằng 0, tức là \( x = -1 \). Vậy \( x = -1 \) là đường tiệm cận đứng, không phải ngang. Do đó, câu c) sai. - Đường tiệm cận ngang: Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): \[ \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x-3}{x+1} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{2 - \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x}} = 2 \] Vậy đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \). d) Tâm đối xứng: Hàm số có dạng phân thức bậc nhất trên bậc nhất, nên đồ thị là một hyperbol. Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai đường tiệm cận. - Đường tiệm cận đứng: \( x = -1 \) - Đường tiệm cận ngang: \( y = 2 \) Tâm đối xứng là \( (-1, 2) \). Kiểm tra xem điểm này có thuộc đường thẳng \( d: 4x + 5y - 6 = 0 \) không: \[ 4(-1) + 5(2) - 6 = -4 + 10 - 6 = 0 \] Vậy điểm \((-1, 2)\) thuộc đường thẳng \( d \). Do đó, câu d) đúng. Tóm lại: - a) Sai - b) Đúng - c) Sai - d) Đúng Câu 3: Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, ta cần thực hiện các bước tính toán sau: a) Tính các vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\): - Vectơ \(\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (6 - 2, 0 - 1, 4 - 3) = (4, -1, 1)\). - Vectơ \(\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A, y_C - y_A, z_C - z_A) = (3 - 2, -1 - 1, -2 - 3) = (1, -2, -5)\). Như vậy, mệnh đề a) là ĐÚNG. b) Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\): \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 4 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) + 1 \cdot (-5) = 4 + 2 - 5 = 1. \] Mệnh đề b) là SAI vì kết quả là 1, không phải 13. c) Tính độ dài các đoạn thẳng \(|\overline{AB}|\) và \(|\overline{AC}|\): - Độ dài \(|\overline{AB}|\) được tính bằng: \[ |\overline{AB}| = \sqrt{(4)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}. \] - Độ dài \(|\overline{AC}|\) được tính bằng: \[ |\overline{AC}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30}. \] Như vậy, mệnh đề c) là ĐÚNG. d) Tính \(\cos A\): Sử dụng công thức \(\cos A = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overline{AB}| \cdot |\overline{AC}|}\): \[ \cos A = \frac{1}{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{30}} = \frac{1}{3 \cdot \sqrt{60}} = \frac{1}{6\sqrt{15}}. \] Như vậy, mệnh đề d) là ĐÚNG. Tóm lại, các mệnh đề a), c), d) là ĐÚNG, còn mệnh đề b) là SAI. Câu 3: a) Đúng. Số trung bình cộng của mẫu số liệu trên là 56 (nghìn đồng). Giải thích: - Nhóm $[30;40)$: 5 khách hàng, mỗi khách hàng chi khoảng 35 nghìn đồng. - Nhóm $[40;50)$: 8 khách hàng, mỗi khách hàng chi khoảng 45 nghìn đồng. - Nhóm $[50;60)$: 25 khách hàng, mỗi khách hàng chi khoảng 55 nghìn đồng. - Nhóm $[60;70)$: 20 khách hàng, mỗi khách hàng chi khoảng 65 nghìn đồng. - Nhóm $[70;80)$: 2 khách hàng, mỗi khách hàng chi khoảng 75 nghìn đồng. Tính tổng số tiền: \[ 5 \times 35 + 8 \times 45 + 25 \times 55 + 20 \times 65 + 2 \times 75 = 175 + 360 + 1375 + 1300 + 150 = 3360 \] Tính số trung bình cộng: \[ \frac{3360}{60} = 56 \] b) Sai. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên là 50 (nghìn đồng). Giải thích: - Khoảng biến thiên là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong mẫu số liệu. - Giá trị lớn nhất là 75 nghìn đồng (nhóm $[70;80)$). - Giá trị nhỏ nhất là 35 nghìn đồng (nhóm $[30;40)$). Khoảng biến thiên: \[ 75 - 35 = 40 \] c) Đúng. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 12,7 (nghìn đồng). Giải thích: - Khoảng tứ phân vị (IQR) là hiệu giữa Q3 và Q1. - Q1 (giá trị phần tư thứ nhất) là giá trị tại vị trí 15 (vì 60/4 = 15). - Q3 (giá trị phần tư thứ ba) là giá trị tại vị trí 45 (vì 360/4 = 45). Tính Q1: - Nhóm $[30;40)$: 5 khách hàng, mỗi khách hàng chi khoảng 35 nghìn đồng. - Nhóm $[40;50)$: 8 khách hàng, mỗi khách hàng chi khoảng 45 nghìn đồng. - Nhóm $[50;60)$: 25 khách hàng, mỗi khách hàng chi khoảng 55 nghìn đồng. Q1 nằm trong nhóm $[50;60)$, cụ thể là tại vị trí 15: \[ Q1 = 50 + \frac{15 - 13}{25} \times 10 = 50 + \frac{2}{25} \times 10 = 50 + 0,8 = 50,8 \] Tính Q3: - Nhóm $[60;70)$: 20 khách hàng, mỗi khách hàng chi khoảng 65 nghìn đồng. - Nhóm $[70;80)$: 2 khách hàng, mỗi khách hàng chi khoảng 75 nghìn đồng. Q3 nằm trong nhóm $[60;70)$, cụ thể là tại vị trí 45: \[ Q3 = 60 + \frac{45 - 43}{20} \times 10 = 60 + \frac{2}{20} \times 10 = 60 + 1 = 61 \] Khoảng tứ phân vị: \[ IQR = Q3 - Q1 = 61 - 50,8 = 10,2 \] Do đó, khẳng định c) là sai.