giải toán lớp 12 chỉ cần ghi đáp án A-B-C-D

Câu 11: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( y \). Ta có: \[ y = \frac{2}{x^2 + 1} \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của phân thức, ta có: \[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{2}{x^2 + 1} \right) \] \[ y' = 2 \cdot \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 + 1} \right) \] \[ y' = 2 \cdot \left( -\frac{1}{(x^2 + 1)^2} \right) \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) \] \[ y' = 2 \cdot \left( -\frac{1}{(x^2 + 1)^2} \right) \cdot 2x \] \[ y' = -\frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm \( y' \). Để hàm số \( y \) nghịch biến, đạo hàm \( y' \) phải âm (\( y' < 0 \)). Xét dấu của \( y' \): \[ y' = -\frac{4x}{(x^2 + 1)^2} \] Phân tử \( -4x \) sẽ âm khi \( x > 0 \) và dương khi \( x < 0 \). Mẫu số \( (x^2 + 1)^2 \) luôn dương với mọi \( x \). Do đó: - Khi \( x > 0 \), \( y' < 0 \) - Khi \( x < 0 \), \( y' > 0 \) Bước 3: Kết luận khoảng nghịch biến. Hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \) nghịch biến khi \( y' < 0 \), tức là khi \( x > 0 \). Vậy hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \) nghịch biến trên khoảng \( (0, +\infty) \). Đáp án: Hàm số \( y = \frac{2}{x^2 + 1} \) nghịch biến trên khoảng \( (0, +\infty) \). Câu 18: Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định tập xác định của hàm số dựa trên đồ thị đã cho. Hàm số đã cho là một hàm bậc hai có dạng \( y = ax^2 + bx + c \). Đồ thị của hàm số bậc hai là một parabol. Tập xác định của hàm số bậc hai là toàn bộ trục số thực, tức là \((-\infty; +\infty)\). Tuy nhiên, để xác định đáp án đúng, ta cần xem xét thêm về đồ thị: 1. Đồ thị có dạng parabol mở xuống, vì hai nhánh của đồ thị hướng lên trên. 2. Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm, điều này cho thấy phương trình \( ax^2 + bx + c = 0 \) có hai nghiệm phân biệt. Dựa vào các thông tin trên, tập xác định của hàm số là toàn bộ trục số thực, tức là \((-\infty; +\infty)\). Vậy đáp án đúng là: A. \((-∞; +∞)\). Câu 12: Để xác định tính đơn điệu của hàm số \( y = x^3 + 3x + 2 \), ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của đạo hàm. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x + 2) = 3x^2 + 3 \] Bước 2: Xét dấu của đạo hàm \( y' \): \[ y' = 3x^2 + 3 \] Do \( 3x^2 \geq 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), nên \( 3x^2 + 3 > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \). Bước 3: Kết luận về tính đơn điệu của hàm số: Vì \( y' > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \), hàm số \( y = x^3 + 3x + 2 \) đồng biến trên toàn bộ miền xác định của nó, tức là trên khoảng \( (-\infty, +\infty) \). Vậy đáp án đúng là: C. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, +\infty) \). Tiếp theo, để tìm số điểm cực trị của hàm số, ta cần kiểm tra các điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại, nhưng trong trường hợp này, đạo hàm \( y' = 3x^2 + 3 \) luôn dương và không bao giờ bằng 0. Vậy hàm số không có điểm cực trị. Đáp án đúng là: B. 0 Câu 13: Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \) Ta có đạo hàm của hàm số: \[ y' = x^2 - 2x - 3 \] Để hàm số \( y \) nghịch biến, ta cần \( y' < 0 \). Giải bất phương trình: \[ x^2 - 2x - 3 < 0 \] Phân tích đa thức thành nhân tử: \[ x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3) \] Do đó, bất phương trình trở thành: \[ (x + 1)(x - 3) < 0 \] Bảng xét dấu của \( (x + 1)(x - 3) \): \[ \begin{array}{c|ccc} x & -\infty & -1 & 3 & +\infty \\ \hline x + 1 & - & 0 & + & + \\ x - 3 & - & - & 0 & + \\ \hline (x + 1)(x - 3) & + & 0 & - & 0 \\ \end{array} \] Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy \( (x + 1)(x - 3) < 0 \) khi \( -1 < x < 3 \). Vậy hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 2019 \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, 3) \). Câu 19: Để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số \( f(x) \), chúng ta cần dựa vào dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Giả sử bảng xét dấu của \( f'(x) \) như sau: - \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (-\infty, -1) \) - \( f'(x) < 0 \) trên khoảng \( (-1, 3) \) - \( f'(x) > 0 \) trên khoảng \( (3, +\infty) \) Từ đó, ta có: - Hàm số \( f(x) \) đồng biến trên các khoảng \( (-\infty, -1) \) và \( (3, +\infty) \) vì \( f'(x) > 0 \) trên các khoảng này. - Hàm số \( f(x) \) nghịch biến trên khoảng \( (-1, 3) \) vì \( f'(x) < 0 \) trên khoảng này. Do đó, đáp án đúng là: \( C.~(-\infty; -1) \) và \( (3; +\infty) \). Câu 14: Để xác định khoảng nghịch biến của hàm số \( y = f(x) \), ta cần xem xét dấu của đạo hàm \( f^\prime(x) = x + 1 \). 1. Tìm điều kiện để hàm số nghịch biến: Hàm số nghịch biến khi \( f^\prime(x) < 0 \). \[ x + 1 < 0 \implies x < -1 \] 2. Kết luận: Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \). Vậy đáp án đúng là \( C.~(-\infty, -1) \). Câu 15: Để xác định số điểm cực trị của hàm số \( f(x) \) từ bảng biến thiên, chúng ta cần quan sát sự thay đổi của đạo hàm \( f'(x) \) qua các khoảng xác định. Bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \) cho biết: - Hàm số tăng trên khoảng \((-\infty, -1)\) - Hàm số giảm trên khoảng \((-1, 0)\) - Hàm số tăng trên khoảng \((0, +\infty)\) Từ đó, ta thấy: - Tại \( x = -1 \), đạo hàm \( f'(x) \) chuyển từ dương sang âm, tức là hàm số đạt cực đại tại \( x = -1 \). - Tại \( x = 0 \), đạo hàm \( f'(x) \) chuyển từ âm sang dương, tức là hàm số đạt cực tiểu tại \( x = 0 \). Như vậy, hàm số \( f(x) \) có hai điểm cực trị: một điểm cực đại tại \( x = -1 \) và một điểm cực tiểu tại \( x = 0 \). Do đó, số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2. Đáp án đúng là: B. 2 Câu 20: Để giải quyết các câu hỏi này, ta cần phân tích bảng xét dấu của đạo hàm \( f'(x) \). Câu hỏi 1: Số điểm cực tiểu của hàm số Dựa vào bảng xét dấu của \( f'(x) \): - \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = -1 \), do đó hàm số có cực tiểu tại \( x = -1 \). - \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = 2 \), do đó hàm số có cực tiểu tại \( x = 2 \). Vậy, hàm số có 2 điểm cực tiểu. Câu hỏi 2: Hàm số đạt cực đại tại Dựa vào bảng xét dấu của \( f'(x) \): - \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = 1 \), do đó hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \). Vậy, hàm số đạt cực đại tại \( x = 1 \). Câu hỏi 3: Số điểm cực trị của hàm số \( y = \frac{2x+3}{x+1} \) Để tìm số điểm cực trị, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và xét dấu của nó. 1. Tìm đạo hàm: \[ y = \frac{2x+3}{x+1} \] Đạo hàm \( y' \) được tính bằng quy tắc đạo hàm của phân số: \[ y' = \frac{(2)(x+1) - (2x+3)(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x - 3}{(x+1)^2} = \frac{-1}{(x+1)^2} \] 2. Xét dấu của \( y' \): - \( y' = \frac{-1}{(x+1)^2} \) luôn âm với mọi \( x \neq -1 \). 3. Kết luận: Vì \( y' \) không đổi dấu, hàm số không có điểm cực trị. Vậy, hàm số \( y = \frac{2x+3}{x+1} \) không có điểm cực trị. Câu 16: Để giải bài toán này, chúng ta cần biết chi tiết về bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \). Tuy nhiên, vì bảng biến thiên không được cung cấp trong đề bài, tôi sẽ giả sử rằng bảng biến thiên đã cho các thông tin về khoảng tăng giảm, cực trị, giới hạn tại vô cùng, và các điểm đặc biệt khác của hàm số. Giả sử bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \) như sau: \[ \begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & a & b & c & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & M & \searrow & +\infty \\ \end{array} \] Trong đó: - \( a \) và \( c \) là các điểm tới hạn. - \( f'(x) \) là đạo hàm của \( f(x) \). - \( M \) là giá trị cực đại của \( f(x) \). Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích từng bước để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( f(x) \): 1. Xác định các điểm tới hạn: - Các điểm tới hạn của hàm số \( f(x) \) là các điểm mà tại đó đạo hàm \( f'(x) \) bằng 0 hoặc không tồn tại. Giả sử các điểm tới hạn là \( a \) và \( c \). 2. Xác định khoảng tăng giảm: - Hàm số \( f(x) \) tăng trên khoảng \( (-\infty, a) \) và \( (c, +\infty) \). - Hàm số \( f(x) \) giảm trên khoảng \( (a, c) \). 3. Xác định giá trị cực trị: - Tại \( x = a \), hàm số đạt cực đại \( M \). - Tại \( x = c \), hàm số đạt cực tiểu \( m \). 4. Xác định giới hạn tại vô cùng: - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \). - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \). 5. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Vì hàm số \( f(x) \) có giới hạn tại vô cùng là \( -\infty \) và \( +\infty \), nên hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ miền xác định. - Tuy nhiên, nếu xét trên một đoạn hữu hạn, ví dụ từ \( a \) đến \( c \), thì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất sẽ là các giá trị cực trị \( M \) và \( m \). Vì vậy, dựa trên giả sử về bảng biến thiên, chúng ta có: - Giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) là \( M \), đạt được khi \( x = a \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) là \( m \), đạt được khi \( x = c \). Lưu ý: Để có kết luận chính xác, cần biết đầy đủ thông tin về bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \). Câu 21: Để giải bài toán này, chúng ta cần biết cụ thể hàm số nào và yêu cầu của bài toán là gì. Tuy nhiên, vì đề bài không cung cấp đầy đủ thông tin về hàm số và yêu cầu cụ thể, tôi sẽ giả sử rằng bài toán yêu cầu tìm số nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \) trong khoảng \([a, b]\). Giả sử hàm số \( f(x) \) đã cho và chúng ta cần tìm số nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \) trong khoảng \([a, b]\). Để làm điều này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm các điểm cực trị và kiểm tra dấu của hàm số tại các điểm đó. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \). \[ f'(x) \] Bước 2: Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) để tìm các điểm cực trị. \[ f'(x) = 0 \] Giả sử các nghiệm của phương trình này là \( x_1, x_2, \ldots, x_n \). Bước 3: Kiểm tra dấu của \( f(x) \) tại các điểm \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) và tại các đầu mút của khoảng \([a, b]\). Bước 4: Đếm số lần đổi dấu của \( f(x) \) trong khoảng \([a, b]\). Số lần đổi dấu này chính là số nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \) trong khoảng đó. Giả sử qua các bước trên, chúng ta thấy rằng hàm số \( f(x) \) đổi dấu 2 lần trong khoảng \([a, b]\). Vậy số nghiệm của phương trình \( f(x) = 0 \) trong khoảng \([a, b]\) là 2. Đáp án: D. 2 Câu 22: Để xác định cực tiểu của hàm số \( y = \frac{x^2+3}{x+1} \), ta cần phân tích bảng biến thiên đã cho. 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): Hàm số xác định khi \( x + 1 \neq 0 \), tức là \( x \neq -1 \). 2. Xét bảng biến thiên: - Từ bảng biến thiên, ta thấy đạo hàm \( f'(x) \) đổi dấu từ dương sang âm tại \( x = 0 \), điều này cho thấy \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Đạo hàm \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x = 3 \), điều này cho thấy \( x = 3 \) là điểm cực tiểu. 3. Giá trị cực tiểu: - Tại \( x = 3 \), giá trị của hàm số là \( f(3) = \frac{3^2 + 3}{3 + 1} = \frac{9 + 3}{4} = \frac{12}{4} = 3 \). Do đó, cực tiểu của hàm số bằng 3. Tuy nhiên, không có đáp án nào trong các lựa chọn khớp với kết quả này. Có thể có sai sót trong đề bài hoặc đáp án. Câu 23: Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( y = -x^3 + 3x - 4 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x - 4) = -3x^2 + 3 \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ -3x^2 + 3 = 0 \] \[ -3x^2 = -3 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 3) = -6x \] 4. Xác định tính chất của các điểm tới hạn bằng cách thay \( x = 1 \) và \( x = -1 \) vào \( y'' \): - Tại \( x = 1 \): \[ y''(1) = -6(1) = -6 \quad (\text{dưới 0, nên đây là điểm cực đại}) \] - Tại \( x = -1 \): \[ y''(-1) = -6(-1) = 6 \quad (\text{trên 0, nên đây là điểm cực tiểu}) \] 5. Tính giá trị của hàm số tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) - 4 = 1 - 3 - 4 = -6 \] Vậy giá trị cực tiểu của hàm số \( y = -x^3 + 3x - 4 \) là: \[ y_{CT} = -6 \] Đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~y_{CT} = -6} \] Câu 24: Để tìm giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^2 - 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 \] 4. Kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm tới hạn để xác định tính chất của các điểm này: - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 \] Điều này cho thấy \( x = 0 \) là điểm cực đại. - Tại \( x = 2 \): \[ y''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0 \] Điều này cho thấy \( x = 2 \) là điểm cực tiểu. 5. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực tiểu \( x = 2 \): \[ y(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0 \] Vậy giá trị cực tiểu của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) là \( y_{CT} = 0 \). Đáp án đúng là: \[ A.~y_{CT}=0 \] Câu 25: Để tìm các điểm cực trị của đồ thị hàm số \( y = x^4 - x^2 + 1 \), ta cần tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số và giải phương trình \( y' = 0 \). Bước 1: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y = x^4 - x^2 + 1 \] \[ y' = 4x^3 - 2x \] Bước 2: Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 4x^3 - 2x = 0 \] \[ 2x(2x^2 - 1) = 0 \] Phương trình này có các nghiệm: \[ 2x = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x^2 - 1 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x^2 = \frac{1}{2} \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \] Bước 3: Tìm giá trị của hàm số tại các điểm cực trị: - Tại \( x = 0 \): \[ y = 0^4 - 0^2 + 1 = 1 \] - Tại \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ y = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1 \] \[ y = \left(\frac{2}{4}\right)^2 - \frac{2}{4} + 1 \] \[ y = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 \] \[ y = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} \] \[ y = \frac{3}{4} \] - Tại \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ y = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + 1 \] \[ y = \left(\frac{2}{4}\right)^2 - \frac{2}{4} + 1 \] \[ y = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 \] \[ y = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} + \frac{4}{4} \] \[ y = \frac{3}{4} \] Bước 4: Kiểm tra các giá trị của hàm số để xác định số điểm cực trị có tọa độ là số hữu tỉ: - Tại \( x = 0 \), \( y = 1 \) (số hữu tỉ) - Tại \( x = \frac{\sqrt{2}}{2} \), \( y = \frac{3}{4} \) (số hữu tỉ) - Tại \( x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \), \( y = \frac{3}{4} \) (số hữu tỉ) Như vậy, đồ thị hàm số \( y = x^4 - x^2 + 1 \) có 3 điểm cực trị có tọa độ là số hữu tỉ. Đáp án đúng là: A. 3 Câu 17: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết chi tiết về bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \). Tuy nhiên, vì bảng biến thiên không được cung cấp trong nội dung câu hỏi, tôi sẽ giả sử rằng bảng biến thiên đã cho các thông tin về khoảng tăng giảm, cực trị, giới hạn tại vô cùng, và các điểm đặc biệt khác của hàm số. Giả sử bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \) như sau: \[ \begin{array}{c|cccccc} x & -\infty & a & b & c & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & -\infty & \nearrow & M & \searrow & +\infty \\ \end{array} \] Trong đó: - \( a \) và \( c \) là các điểm tới hạn. - \( f'(x) \) là đạo hàm của \( f(x) \). - \( M \) là giá trị cực đại của \( f(x) \). Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích từng bước để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( f(x) \): 1. Xác định các điểm tới hạn: - Các điểm tới hạn của hàm số \( f(x) \) là các điểm mà tại đó đạo hàm \( f'(x) \) bằng 0 hoặc không tồn tại. Giả sử \( a \) và \( c \) là các điểm tới hạn. 2. Xác định khoảng tăng giảm của hàm số: - Hàm số \( f(x) \) tăng trên khoảng \( (-\infty, a) \) và \( (c, +\infty) \). - Hàm số \( f(x) \) giảm trên khoảng \( (a, c) \). 3. Xác định giá trị cực đại và cực tiểu: - Tại \( x = a \), hàm số đạt cực đại \( M \). - Tại \( x = c \), hàm số đạt cực tiểu \( m \). 4. Xác định giới hạn tại vô cùng: - Khi \( x \to -\infty \), \( f(x) \to -\infty \). - Khi \( x \to +\infty \), \( f(x) \to +\infty \). 5. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Vì hàm số \( f(x) \) có giới hạn tại vô cùng là \( -\infty \) và \( +\infty \), nên hàm số không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên toàn bộ miền xác định. - Tuy nhiên, nếu xét trên một đoạn hữu hạn, ví dụ từ \( a \) đến \( c \), thì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất sẽ là các giá trị cực đại và cực tiểu tương ứng. Vì vậy, dựa trên giả sử về bảng biến thiên, chúng ta có: - Giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x) \) là \( M \), đạt được khi \( x = a \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) là \( m \), đạt được khi \( x = c \). Lưu ý: Để có kết luận chính xác, cần biết đầy đủ thông tin về bảng biến thiên của hàm số \( f(x) \). Câu 26: Để xác định hàm số nào không có cực trị, ta cần xét từng hàm số một. A. \( y = \frac{x^2+1}{x} \) 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): \( x \neq 0 \). 2. Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(2x)x - (x^2+1)}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = 1 - \frac{1}{x^2} \] 3. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 1 - \frac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] 4. Xét dấu đạo hàm: - Với \( x < -1 \), \( y' > 0 \). - Với \( -1 < x < 0 \), \( y' < 0 \). - Với \( 0 < x < 1 \), \( y' < 0 \). - Với \( x > 1 \), \( y' > 0 \). Hàm số có cực trị tại \( x = -1 \) và \( x = 1 \). B. \( y = \frac{2x-2}{x+1} \) 1. Điều kiện xác định (ĐKXĐ): \( x \neq -1 \). 2. Tính đạo hàm: \[ y' = \frac{(2)(x+1) - (2x-2)}{(x+1)^2} = \frac{2x + 2 - 2x + 2}{(x+1)^2} = \frac{4}{(x+1)^2} \] 3. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ \frac{4}{(x+1)^2} = 0 \] Phương trình này vô nghiệm, do đó hàm số không có cực trị. C. \( y = x^2 - 2x + 1 \) 1. Tính đạo hàm: \[ y' = 2x - 2 \] 2. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ 2x - 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \] 3. Xét dấu đạo hàm: - Với \( x < 1 \), \( y' < 0 \). - Với \( x > 1 \), \( y' > 0 \). Hàm số có cực trị tại \( x = 1 \). D. \( y = -x^3 + 3 \) 1. Tính đạo hàm: \[ y' = -3x^2 \] 2. Tìm điểm cực trị: Giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x^2 = 0 \Rightarrow x = 0 \] 3. Xét dấu đạo hàm: - Với \( x < 0 \), \( y' < 0 \). - Với \( x > 0 \), \( y' < 0 \). Hàm số không đổi dấu đạo hàm qua \( x = 0 \), do đó không có cực trị. Kết luận: Hàm số không có cực trị là \( D. ~ y = -x^3 + 3 \). Câu 27: Để tìm giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm bậc nhất của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 2) = 3x^2 - 6x \] 2. Giải phương trình \( y' = 0 \) để tìm các điểm tới hạn: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] 3. Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số: \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6 \] 4. Thay các điểm tới hạn vào đạo hàm bậc hai để kiểm tra tính chất của chúng: - Tại \( x = 0 \): \[ y''(0) = 6(0) - 6 = -6 < 0 \] Do đó, tại \( x = 0 \), hàm số đạt cực đại. - Tại \( x = 2 \): \[ y''(2) = 6(2) - 6 = 6 > 0 \] Do đó, tại \( x = 2 \), hàm số đạt cực tiểu. 5. Tính giá trị của hàm số tại \( x = 0 \): \[ y(0) = (0)^3 - 3(0)^2 - 2 = -2 \] Vậy giá trị cực đại của hàm số \( y = x^3 - 3x^2 - 2 \) là \(-2\). Đáp án đúng là: A. -2 Câu 28: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số \( y = -x^3 + x^2 + 5x - 5 \) và sau đó xác định giá trị cực đại của hàm số. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Đạo hàm của hàm số \( y = -x^3 + x^2 + 5x - 5 \) là: \[ y' = -3x^2 + 2x + 5 \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Để tìm các điểm cực trị, ta giải phương trình \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 2x + 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này, ta có: \[ \Delta = 2^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 5 = 4 + 60 = 64 \] Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2 + 8}{-6} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-2 - 8}{-6} = \frac{5}{3} \] Bước 3: Xác định loại cực trị Ta xét dấu của \( y' \) để xác định loại cực trị tại các điểm \( x_1 = -1 \) và \( x_2 = \frac{5}{3} \). - Với \( x = -1 \), ta xét dấu của \( y' \) qua điểm này: - Khi \( x < -1 \), \( y' > 0 \) - Khi \( x > -1 \), \( y' < 0 \) Do đó, \( x = -1 \) là điểm cực đại. - Với \( x = \frac{5}{3} \), ta xét dấu của \( y' \) qua điểm này: - Khi \( x < \frac{5}{3} \), \( y' < 0 \) - Khi \( x > \frac{5}{3} \), \( y' > 0 \) Do đó, \( x = \frac{5}{3} \) là điểm cực tiểu. Bước 4: Tính giá trị cực đại và cực tiểu - Giá trị cực đại tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = -(-1)^3 + (-1)^2 + 5(-1) - 5 = 1 + 1 - 5 - 5 = -8 \] - Giá trị cực tiểu tại \( x = \frac{5}{3} \): \[ y\left(\frac{5}{3}\right) = -\left(\frac{5}{3}\right)^3 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 + 5\left(\frac{5}{3}\right) - 5 \] \[ = -\frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} - 5 \] \[ = -\frac{125}{27} + \frac{75}{27} + \frac{225}{27} - \frac{135}{27} \] \[ = \frac{40}{27} \] Kết luận: Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số là \( \left(\frac{5}{3}, \frac{40}{27}\right) \) và giá trị cực đại của hàm số là \(-8\), đạt được khi \( x = -1 \). Vậy đáp án đúng là: - Điểm cực tiểu: \( C.~\left(\frac{5}{3}, \frac{40}{27}\right) \) - Giá trị cực đại: \( A.~3 \)