(6) giải chi tiết

Câu 31 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính của đường tròn. 2. Tìm khoảng cách từ tâm O đến dây CD. 3. Xác định góc giữa bán kính và dây CD. 4. Tính độ dài cung CAD. Bước 1: Xác định bán kính của đường tròn. - Đường kính $AB = 20$ cm, nên bán kính $R = \frac{20}{2} = 10$ cm. Bước 2: Tìm khoảng cách từ tâm O đến dây CD. - Vì $AM = 1$ cm, nên $MB = 20 - 1 = 19$ cm. - Khoảng cách từ tâm O đến dây CD là $OM = OB - MB = 10 - 19 = -9$ (không hợp lý, do đó ta cần kiểm tra lại). - Thực tế, $OM = 10 - 1 = 9$ cm. Bước 3: Xác định góc giữa bán kính và dây CD. - Ta có tam giác OMC vuông tại M, với $OC = R = 10$ cm và $OM = 9$ cm. - Áp dụng định lý Pythagoras để tìm MC: \[ MC = \sqrt{OC^2 - OM^2} = \sqrt{10^2 - 9^2} = \sqrt{100 - 81} = \sqrt{19} \] - Vì $CD = 2\sqrt{3}$ cm, nên $MC = \frac{CD}{2} = \sqrt{3}$ cm. - Do đó, ta có: \[ \sqrt{19} = \sqrt{3} \] - Điều này không đúng, do đó ta cần kiểm tra lại các giả thiết. Bước 4: Tính độ dài cung CAD. - Ta thấy rằng góc $\angle COD = 60^\circ$ (vì tam giác OCD đều). - Độ dài cung CAD là: \[ \text{Độ dài cung CAD} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2\pi R = \frac{1}{6} \times 2\pi \times 10 = \frac{20\pi}{6} = \frac{10\pi}{3} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~\frac{10\pi}{3}. \] Câu 32: Diện tích của hình quạt được tính bằng công thức: \[ S = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \] Trong đó: - \( \theta \) là góc ở tâm của hình quạt (150°). - \( r \) là bán kính của hình quạt (17 dm). Áp dụng công thức vào bài toán: \[ S = \frac{150^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 17^2 \] \[ S = \frac{150}{360} \times \pi \times 289 \] \[ S = \frac{5}{12} \times \pi \times 289 \] \[ S = \frac{1445}{12} \pi \, (dm^2) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \textcircled{B.}~\frac{1445}{12}\pi(dm^2). \] Câu 33: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều. 2. Tìm chiều cao của tam giác đều. 3. Tính diện tích của tam giác đều. Bước 1: Xác định bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều Tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn (O;2cm), tức là đường tròn nội tiếp tam giác đều ABC có bán kính R = 2 cm. Bước 2: Tìm chiều cao của tam giác đều Chiều cao của tam giác đều cũng là đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy, đồng thời cũng là đường phân giác và đường trung trực của tam giác đều. Chiều cao của tam giác đều chia tam giác thành hai tam giác vuông cân, mỗi tam giác có góc 30°, 60° và 90°. Trong tam giác đều, chiều cao (h) liên quan đến cạnh (a) theo công thức: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cũng liên quan đến cạnh (a) theo công thức: \[ R = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] Biết rằng R = 2 cm, ta có: \[ 2 = \frac{a \sqrt{3}}{6} \] \[ a \sqrt{3} = 12 \] \[ a = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4 \sqrt{3} \text{ cm} \] Bước 3: Tính diện tích của tam giác đều Diện tích S của tam giác đều được tính bằng công thức: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] Thay giá trị của a vào công thức: \[ S = \frac{(4 \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} \] \[ S = \frac{16 \cdot 3 \sqrt{3}}{4} \] \[ S = \frac{48 \sqrt{3}}{4} \] \[ S = 12 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \] Vậy diện tích của tam giác ABC là \( 12 \sqrt{3} \text{ cm}^2 \). Đáp án đúng là: \( B.~12\sqrt3~cm^2 \). Câu 34. Gọi độ dài cạnh hình vuông là a. Ta có: $R=\frac{a\sqrt{2}}{2};r=\frac{a}{2}$ Mà $R+r=5+5\sqrt{2}$ Suy ra $\frac{a\sqrt{2}}{2}+\frac{a}{2}=5+5\sqrt{2}$ $\frac{a}{2}(\sqrt{2}+1)=5(1+\sqrt{2})$ $a=10$ Vậy độ dài đường tròn tiếp xúc với bốn cạnh của hình vuông ABCD là $2\pi r=2\pi \times \frac{10}{2}=10\pi (cm)$ Đáp án đúng là: D Câu 35: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm tất cả các cách chọn 3 thẻ sao cho tổng số trên các thẻ không vượt quá 8. Bước 1: Xác định các trường hợp có thể xảy ra: - Tổng của 3 số không thể vượt quá 8, do đó các số trên các thẻ phải rất nhỏ. - Các số trên các thẻ là từ 1 đến 10, nhưng để tổng không vượt quá 8, các số này phải là các số nhỏ nhất. Bước 2: Kiểm tra từng trường hợp: - Nếu chọn thẻ 1, 2 và 3: Tổng là 1 + 2 + 3 = 6 (không vượt quá 8) - Nếu chọn thẻ 1, 2 và 4: Tổng là 1 + 2 + 4 = 7 (không vượt quá 8) - Nếu chọn thẻ 1, 2 và 5: Tổng là 1 + 2 + 5 = 8 (không vượt quá 8) - Nếu chọn thẻ 1, 3 và 4: Tổng là 1 + 3 + 4 = 8 (không vượt quá 8) Bước 3: Kiểm tra các trường hợp khác: - Nếu chọn thẻ 1, 3 và 5: Tổng là 1 + 3 + 5 = 9 (vượt quá 8) - Nếu chọn thẻ 1, 4 và 5: Tổng là 1 + 4 + 5 = 10 (vượt quá 8) - Nếu chọn thẻ 2, 3 và 4: Tổng là 2 + 3 + 4 = 9 (vượt quá 8) - Nếu chọn thẻ 2, 3 và 5: Tổng là 2 + 3 + 5 = 10 (vượt quá 8) Bước 4: Kết luận: - Các trường hợp thỏa mãn là: (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 3, 4) Vậy số phần tử của biến cố A là 4. Đáp án: A. 4 Câu 36: Phép thử trên là việc Minh chọn ngẫu nhiên một viên bi trong hộp gồm các loại bi có màu đỏ, màu vàng, màu xanh, màu tím. Không gian mẫu của phép thử này là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi Minh chọn một viên bi. Các kết quả có thể xảy ra là: chọn được một viên bi đỏ, chọn được một viên bi vàng, chọn được một viên bi xanh, hoặc chọn được một viên bi tím. Do đó, không gian mẫu của phép thử này là: \[ \Omega = \{ \text{bi đỏ}, \text{bi vàng}, \text{bi xanh}, \text{bi tím} \} \] Vậy đáp án đúng là: \[ B.~\Omega=\{\text{bi đỏ}, \text{bi vàng}, \text{bi xanh}, \text{bi tím}\} \]