Chứng minh kd =ke

Bài IV. 1) a) Tính thể tích của que kem ốc quế: - Bán kính đáy của que kem: \( r = \frac{5}{2} = 2.5 \) cm - Chiều cao của que kem: \( h = 10 \) cm Thể tích của que kem ốc quế: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 3.14 \times (2.5)^2 \times 10 = \frac{1}{3} \times 3.14 \times 6.25 \times 10 = \frac{1}{3} \times 196.25 = 65.42 \text{ cm}^3 \] b) Lượng kem trong mỗi que kem chiếm 90% thể tích của cả que kem: \[ V_{kem} = 0.9 \times 65.42 = 58.88 \text{ cm}^3 \] Hộp kem có thể tích 1 lít (1000 cm³): \[ \text{Số que kem} = \frac{1000}{58.88} \approx 17 \text{ que kem} \] 2) a) Chứng minh bốn điểm A, D, M, H cùng thuộc một đường tròn: - Ta có \( \angle ADB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) - \( \angle ADM = 90^\circ \) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) - \( \angle AHM = 90^\circ \) (vuông góc với OB) Do đó, bốn điểm A, D, M, H cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh B, E, C thẳng hàng và \( KD = KE \): - \( \angle AEB = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) - \( \angle AEC = 90^\circ \) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) Do đó, B, E, C thẳng hàng. c) Chứng minh DE luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên nửa đường tròn (O): - Gọi I là giao điểm của DE và AB. - Ta có \( \angle AID = \angle ABD \) (góc nội tiếp cùng chắn cung AD) - \( \angle AID = \angle AED \) (góc giữa tiếp tuyến và dây cung) Do đó, DE luôn đi qua điểm cố định I trên AB. Bài V. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định bán kính đáy và chiều cao của hình nón: - Bán kính đáy của hình nón là \( r \). - Chiều cao của hình nón là \( h \). 2. Áp dụng công thức tính thể tích của hình nón: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] 3. Xác định mối liên hệ giữa bán kính đáy, chiều cao và bán kính ban đầu của hình tròn: - Bán kính ban đầu của hình tròn là \( R = 4 \) cm. - Số đo góc ở tâm của hình quạt là \( x \). 4. Tính bán kính đáy \( r \) của hình nón: - Bán kính đáy \( r \) của hình nón là phần còn lại của đường tròn khi cắt đi phần hình quạt. - Độ dài cung của hình quạt là: \[ l = \frac{x}{360} \times 2\pi R \] - Bán kính đáy \( r \) của hình nón là: \[ r = \frac{l}{2\pi} = \frac{\frac{x}{360} \times 2\pi R}{2\pi} = \frac{x}{360} \times R = \frac{x}{360} \times 4 = \frac{x}{90} \] 5. Tính chiều cao \( h \) của hình nón: - Chiều cao \( h \) của hình nón là: \[ h = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{4^2 - \left( \frac{x}{90} \right)^2} = \sqrt{16 - \left( \frac{x}{90} \right)^2} \] 6. Thay vào công thức thể tích của hình nón: \[ V = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{x}{90} \right)^2 \sqrt{16 - \left( \frac{x}{90} \right)^2} \] 7. Tìm giá trị của \( x \) để thể tích \( V \) là lớn nhất: - Để tìm giá trị của \( x \) làm cho thể tích \( V \) lớn nhất, chúng ta cần sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc bất đẳng thức. - Ta thấy rằng thể tích \( V \) sẽ lớn nhất khi \( \left( \frac{x}{90} \right)^2 \) và \( \sqrt{16 - \left( \frac{x}{90} \right)^2} \) đều lớn nhất. - Điều này xảy ra khi \( \left( \frac{x}{90} \right)^2 = 8 \), tức là \( \frac{x}{90} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \). 8. Giải phương trình để tìm \( x \): \[ \frac{x}{90} = 2\sqrt{2} \implies x = 90 \times 2\sqrt{2} = 180\sqrt{2} \] 9. Kiểm tra điều kiện \( 10 < x < 360 \): - \( 180\sqrt{2} \approx 254.56 \), nằm trong khoảng \( 10 < x < 360 \). Vậy giá trị của \( x \) để thể tích của cái phễu là lớn nhất là \( x = 180\sqrt{2} \). Đáp số: \( x = 180\sqrt{2} \)