Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Giải phương trình $\sqrt{3x^2-6x-6}=3\sqrt{(2-x)^5}+(7x-19)\sqrt{2-x}$

Question

Accepted Answer

Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình:

$\begin{cases} 3x^2-6x-6 \ge 0 \ (2-x)^5 \ge 0 \ 2-x \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 3(x^2-2x-2) \ge 0 \ 2-x \ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2-2x-2 \ge 0 \ x \le 2 \end{cases}$

Xét tam thức $f(x)=x^2-2x-2$. Các nghiệm của $f(x)=0$ là $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-4(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$.

Do đó $x^2-2x-2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1-\sqrt{3}$ hoặc $x \ge 1+\sqrt{3}$.

Kết hợp với $x \le 2$:

Vì $1+\sqrt{3} \approx 1+1.732 = 2.732 > 2$, nên trường hợp $x \ge 1+\sqrt{3}$ và $x \le 2$ không thể đồng thời xảy ra.

Vậy ĐKXĐ của phương trình là $x \le 1-\sqrt{3}$.

Phương trình đã cho có thể được viết lại như sau:

$\sqrt{3x^2-6x-6} = 3(2-x)^2\sqrt{2-x} + (7x-19)\sqrt{2-x}$

$\sqrt{3x^2-6x-6} = [3(2-x)^2 + (7x-19)]\sqrt{2-x}$

$\sqrt{3x^2-6x-6} = [3(4-4x+x^2) + 7x-19]\sqrt{2-x}$

$\sqrt{3x^2-6x-6} = (12-12x+3x^2 + 7x-19)\sqrt{2-x}$

$\sqrt{3x^2-6x-6} = (3x^2-5x-7)\sqrt{2-x}$ (1)

Từ ĐKXĐ $x \le 1-\sqrt{3}$, ta có $x < 2$, suy ra $2-x > 0$, do đó $\sqrt{2-x} > 0$.

Vì vế trái của (1) là $\sqrt{3x^2-6x-6} \ge 0$ và $\sqrt{2-x} > 0$, nên ta phải có $3x^2-5x-7 \ge 0$.

Xét tam thức $g(x)=3x^2-5x-7$. Các nghiệm của $g(x)=0$ là $x = \frac{5 \pm \sqrt{25-4(3)(-7)}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{25+84}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{109}}{6}$.

Do đó $3x^2-5x-7 \ge 0 \Leftrightarrow x \le \frac{5-\sqrt{109}}{6}$ hoặc $x \ge \frac{5+\sqrt{109}}{6}$.

Kết hợp với ĐKXĐ $x \le 1-\sqrt{3}$:

Ta có $1-\sqrt{3} \approx -0.732$ và $\frac{5-\sqrt{109}}{6} \approx \frac{5-10.44}{6} \approx -0.906$.

Vì $\frac{5-\sqrt{109}}{6} < 1-\sqrt{3}$, điều kiện để có thể bình phương hai vế của (1) là $x \le \frac{5-\sqrt{109}}{6}$. Gọi đây là điều kiện (*).

Với điều kiện (*), bình phương hai vế của (1) ta được:

$3x^2-6x-6 = (3x^2-5x-7)^2 (2-x)$ (2)

Đặt $z = 2-x$. Từ $x \le \frac{5-\sqrt{109}}{6}$, suy ra $z = 2-x \ge 2 - \frac{5-\sqrt{109}}{6} = \frac{12-5+\sqrt{109}}{6} = \frac{7+\sqrt{109}}{6}$.

Điều kiện cho $z$ là $z \ge \frac{7+\sqrt{109}}{6}$ (khoảng $z \ge 2.906$).

Thay $x=2-z$ vào các biểu thức trong (2):

$3x^2-6x-6 = 3(2-z)^2-6(2-z)-6 = 3(4-4z+z^2)-12+6z-6 = 12-12z+3z^2-12+6z-6 = 3z^2-6z-6$.

$3x^2-5x-7 = 3(2-z)^2-5(2-z)-7 = 3(4-4z+z^2)-10+5z-7 = 12-12z+3z^2-10+5z-7 = 3z^2-7z-5$.

Phương trình (2) trở thành:

$3z^2-6z-6 = (3z^2-7z-5)^2 z$ (3)

Ta kiểm tra $z=3$:

Vế trái của (3): $3(3)^2-6(3)-6 = 27-18-6 = 3$.

Vế phải của (3): $(3(3)^2-7(3)-5)^2 (3) = (27-21-5)^2 (3) = (1)^2 (3) = 3$.

Vậy $z=3$ là một nghiệm của (3).

Nghiệm $z=3$ thỏa mãn điều kiện $z \ge \frac{7+\sqrt{109}}{6}$ (vì $3 \approx 3.000 > 2.906$).

Với $z=3$, ta có $2-x=3 \Rightarrow x=-1$.

Kiểm tra $x=-1$ với điều kiện (*): $-1 \le \frac{5-\sqrt{109}}{6} \approx -0.906$. Điều này đúng.

Vậy $x=-1$ là một nghiệm của phương trình ban đầu.

Biến đổi phương trình (3):

$(3z^2-7z-5)^2 z - (3z^2-6z-6) = 0$

Khai triển và rút gọn (như trong quá trình nháp), ta được:

$9z^5 - 42z^4 + 19z^3 + 67z^2 + 31z + 6 = 0$.

Vì $z=3$ là một nghiệm, ta có thể phân tích thành nhân tử:

$(z-3)(9z^4 - 15z^3 - 26z^2 - 11z - 2) = 0$.

Xét phương trình $Q(z) = 9z^4 - 15z^3 - 26z^2 - 11z - 2 = 0$.

Ta có thể phân tích $Q(z) = (3z+2)(3z^3 - 7z^2 - 4z - 1) = 0$.

Nghiệm $z = -2/3$. Nghiệm này không thỏa mãn $z \ge \frac{7+\sqrt{109}}{6}$ (vì $z$ phải lớn hơn $2.906$).

Xét phương trình $R(z) = 3z^3 - 7z^2 - 4z - 1 = 0$.

Đặt $z_c = \frac{7+\sqrt{109}}{6}$. Ta tìm nghiệm $z \ge z_c$.

Lưu ý rằng $z_c$ là nghiệm của $3Z^2-7Z-5=0$, tức là $3z_c^2-7z_c-5=0 \Rightarrow 3z_c^2 = 7z_c+5$.

$R(z_c) = 3z_c^3 - 7z_c^2 - 4z_c - 1 = z_c(3z_c^2) - 7z_c^2 - 4z_c - 1 = z_c(7z_c+5) - 7z_c^2 - 4z_c - 1$

$R(z_c) = 7z_c^2+5z_c - 7z_c^2 - 4z_c - 1 = z_c-1$.

Vì $z_c = \frac{7+\sqrt{109}}{6} \approx 2.906 > 1$, nên $R(z_c) = z_c-1 > 0$.

Đạo hàm $R'(z) = 9z^2 - 14z - 4$. $R'(z)=0$ khi $z = \frac{14 \pm \sqrt{196+144}}{18} = \frac{14 \pm \sqrt{340}}{18} = \frac{7 \pm \sqrt{85}}{9}$.

Điểm cực tiểu của $R(z)$ là $z_{min} = \frac{7+\sqrt{85}}{9} \approx \frac{7+9.22}{9} \approx 1.80$.

Với $z > z_{min} \approx 1.80$, hàm số $R(z)$ đồng biến.

Vì $z_c \approx 2.906 > 1.80$, hàm số $R(z)$ đồng biến trên $[z_c, +\infty)$.

Do $R(z_c) > 0$ và $R(z)$ đồng biến trên $[z_c, +\infty)$, suy ra $R(z) > 0$ với mọi $z \ge z_c$.

Vậy phương trình $R(z)=0$ không có nghiệm nào thỏa mãn $z \ge z_c$.

Do đó, phương trình (3) chỉ có một nghiệm $z=3$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất là $x=-1$.

Kết luận: Nghiệm của phương trình là $x=-1$.