Ffhhggghvvgnn

Câu 2:

a) Xác định và chứng minh tứ giác $AEFB$:

*  Vì điểm $C$ nằm trên nửa đường tròn đường kính $AB$ (tâm $O$), nên $\widehat{ACB} = 90^\circ$. Tức là $\triangle ABC$ vuông tại $C$.

*  Vì điểm $E$ nằm trên nửa đường tròn đường kính $AC$ (tâm $I$), nên $\widehat{AEC} = 90^\circ$. Điều này có nghĩa là $AE \perp CE$.

*  Vì điểm $F$ nằm trên nửa đường tròn đường kính $CB$ (tâm $K$), nên $\widehat{CFB} = 90^\circ$. Điều này có nghĩa là $FB \perp CF$.

*  Vì $E, C, F$ cùng nằm trên đường thẳng $d$, nên $CE$ và $CF$ là một phần của đường thẳng $d$.

*  Từ đó, $AE \perp d$ và $FB \perp d$.

*  Hai đường thẳng $AE$ và $FB$ cùng vuông góc với đường thẳng $d$, suy ra $AE \parallel FB$.

*  Một tứ giác có một cặp cạnh đối song song là hình thang. Do đó, $AEFB$ là hình thang.

*  Hơn nữa, vì $AE \perp d$ và $FB \perp d$, mà $EF$ là một đoạn thẳng trên $d$, nên $AE \perp EF$ và $FB \perp EF$.

*  Vậy, tứ giác $AEFB$ là hình thang vuông (vuông tại $E$ và $F$).

b) Chứng minh các đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác $AEFB$:

*  Chứng minh $CE \cdot CF = AE \cdot BF$:

  *  Đặt $\widehat{BCF} = \alpha$. Vì $E, C, F$ thẳng hàng, nên $\widehat{BCE} = \alpha$.

  *  Vì $\widehat{ACB} = 90^\circ$, suy ra $\widehat{ACE} = \widehat{ACB} - \widehat{BCE} = 90^\circ - \alpha$.

  *  Trong $\triangle BFC$ vuông tại $F$:

    *  $BF = BC \cdot \sin(\widehat{BCF}) = BC \cdot \sin \alpha$.

    *  $CF = BC \cdot \cos(\widehat{BCF}) = BC \cdot \cos \alpha$.

  *  Trong $\triangle AEC$ vuông tại $E$:

    *  $AE = AC \cdot \sin(\widehat{ACE}) = AC \cdot \sin(90^\circ - \alpha) = AC \cdot \cos \alpha$.

    *  $CE = AC \cdot \cos(\widehat{ACE}) = AC \cdot \cos(90^\circ - \alpha) = AC \cdot \sin \alpha$.

  *  Tính tích $CE \cdot CF$:

    $CE \cdot CF = (AC \cdot \sin \alpha) \cdot (BC \cdot \cos \alpha) = AC \cdot BC \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

  *  Tính tích $AE \cdot BF$:

    $AE \cdot BF = (AC \cdot \cos \alpha) \cdot (BC \cdot \sin \alpha) = AC \cdot BC \cdot \sin \alpha \cdot \cos \alpha$.

  *  Từ đó, suy ra $CE \cdot CF = AE \cdot BF$ (đpcm).

*  Chứng minh $OE = OF$:

  *  Ta có $AE \perp d$, $OM \perp d$, $BF \perp d$. Do đó, $AE \parallel OM \parallel BF$.

  *  $O$ là tâm của nửa đường tròn đường kính $AB$, nên $O$ là trung điểm của $AB$.

  *  Theo định lý Thales (hoặc định lý về đường thẳng song song cắt hai cát tuyến), vì các đường thẳng song song $AE, OM, BF$ cắt cát tuyến $AB$ tại các điểm $A, O, B$ với $O$ là trung điểm của $AB$, thì chúng sẽ cắt cát tuyến $d$ tại các điểm $E, M, F$ sao cho $M$ là trung điểm của $EF$.

  *  Vì $M$ là trung điểm của $EF$ và $OM \perp EF$ (do $M$ là chân đường vuông góc từ $O$ đến $d$), nên $\triangle OEF$ là tam giác cân tại $O$.

  *  Vậy, $OE = OF$ (đpcm).

*  Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác $AEFB$:

  *  $AEFB$ là hình thang vuông, có hai đáy là $AE, BF$ và chiều cao là $EF$.

  *  Diện tích $S_{AEFB} = \frac{1}{2} (AE + BF) \cdot EF$.

  *  Thay các biểu thức đã tìm ở trên:

    *  $AE + BF = AC \cos \alpha + BC \sin \alpha$.

    *  $EF = CE + CF = AC \sin \alpha + BC \cos \alpha$.

  *  $S_{AEFB} = \frac{1}{2} (AC \cos \alpha + BC \sin \alpha)(AC \sin \alpha + BC \cos \alpha)$

  *  $S_{AEFB} = \frac{1}{2} [AC^2 \sin \alpha \cos \alpha + AC \cdot BC \cos^2 \alpha + AC \cdot BC \sin^2 \alpha + BC^2 \sin \alpha \cos \alpha]$

  *  $S_{AEFB} = \frac{1}{2} [(AC^2 + BC^2) \sin \alpha \cos \alpha + AC \cdot BC (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha)]$

  *  $S_{AEFB} = \frac{1}{2} [(AC^2 + BC^2) \sin \alpha \cos \alpha + AC \cdot BC]$.

  *  Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C$, theo định lý Pythagoras, $AC^2 + BC^2 = AB^2$. Vì $AB$ là đường kính của đường tròn $(O;R)$, nên $AB = 2R$.

  *  Do đó, $AC^2 + BC^2 = (2R)^2 = 4R^2$.

  *  Diện tích $\triangle ABC$ là $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC$.

  *  Thay vào biểu thức diện tích $S_{AEFB}$:

    $S_{AEFB} = \frac{1}{2} [4R^2 \sin \alpha \cos \alpha + 2 S_{\triangle ABC}]$

    $S_{AEFB} = 2R^2 \sin \alpha \cos \alpha + S_{\triangle ABC}$

    Sử dụng công thức $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, ta có $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin(2\alpha)$.

    $S_{AEFB} = 2R^2 \cdot \frac{1}{2} \sin(2\alpha) + S_{\triangle ABC}$

    $S_{AEFB} = R^2 \sin(2\alpha) + S_{\triangle ABC}$.

  *  Để $S_{AEFB}$ đạt giá trị lớn nhất, ta cần tối đa hóa $R^2 \sin(2\alpha)$ và $S_{\triangle ABC}$.

    *  Giá trị lớn nhất của $\sin(2\alpha)$ là $1$, khi $2\alpha = 90^\circ \implies \alpha = 45^\circ$. (Điều này có nghĩa là đường thẳng $d$ là tia phân giác của góc $\widehat{BCA}$).

    *  Diện tích $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot BC$. Trong $\triangle ABC$ vuông tại $C$, $AC = AB \cos(\widehat{CAB}) = 2R \cos(\widehat{CAB})$ và $BC = AB \sin(\widehat{CAB}) = 2R \sin(\widehat{CAB})$.

      $S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} (2R \cos(\widehat{CAB}))(2R \sin(\widehat{CAB})) = 2R^2 \sin(\widehat{CAB}) \cos(\widehat{CAB}) = R^2 \sin(2 \widehat{CAB})$.

      Giá trị lớn nhất của $S_{\triangle ABC}$ là $R^2 \cdot 1 = R^2$, khi $2 \widehat{CAB} = 90^\circ \implies \widehat{CAB} = 45^\circ$. (Điều này có nghĩa là $\triangle ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$).

  *  Khi cả hai điều kiện trên cùng xảy ra ($\alpha = 45^\circ$ và $\widehat{CAB} = 45^\circ$), thì $S_{AEFB}$ đạt giá trị lớn nhất.

  *  Giá trị lớn nhất của $S_{AEFB} = R^2 \cdot 1 + R^2 \cdot 1 = 2R^2$.

Kết luận: Giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác $AEFB$ là $2R^2$.