Sosss mn oiii

PHẦN III. (3,0 điểm) Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1.

Gọi $x$ (tấn/ngày) là số tấn hàng đội xe dự định chở mỗi ngày ($x > 0$).

Gọi $t$ (ngày) là số ngày đội xe dự định chở hết $140$ tấn hàng ($t > 0$).

Theo kế hoạch, ta có phương trình: $x \cdot t = 140$ $(1)$

Thực tế, mỗi ngày đội xe chở được $x+5$ tấn.

Thời gian thực tế để hoàn thành công việc là $t-1$ ngày.

Tổng số hàng thực tế chở được là $140 + 10 = 150$ tấn.

Theo thực tế, ta có phương trình: $(x+5)(t-1) = 150$ (2)

Từ $(1)$, ta rút $t = \frac{140}{x}$. Thay vào (2):

$(x+5)\left(\frac{140}{x} - 1\right) = 150$

$140 - x + \frac{700}{x} - 5 = 150$

$135 - x + \frac{700}{x} = 150$

Nhân cả hai vế với $x$ (vì $x > 0$):

$135x - x^2 + 700 = 150x$

Chuyển vế và sắp xếp lại, ta được phương trình bậc hai:

$x^2 + 15x - 700 = 0$

Tính delta ($\Delta$) của phương trình:

$\Delta = b^2 - 4ac = 15^2 - 4(1)(-700) = 225 + 2800 = 3025$

$\sqrt{\Delta} = \sqrt{3025} = 55$

Các nghiệm của phương trình là:

$x_1 = \frac{-15 + 55}{2} = \frac{40}{2} = 20$ (Thỏa mãn điều kiện $x > 0$)

$x_2 = \frac{-15 - 55}{2} = \frac{-70}{2} = -35$ (Không thỏa mãn điều kiện $x > 0$)

Vậy, số tấn hàng dự định chở mỗi ngày là $x = 20$ tấn.

Số ngày dự định chở hết $140$ tấn hàng theo kế hoạch là $t = \frac{140}{x} = \frac{140}{20} = 7$ ngày.

Đáp số: $7$ ngày.

Câu 2.

Tổng số thẻ trong hộp là $30$ thẻ, được đánh số từ $1$ đến $30$.

Không gian mẫu $\Omega$ có $30$ phần tử, $n(\Omega) = 30$.

Biến cố $A$: "Số xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho $5$".

Các số chia hết cho $5$ trong khoảng từ $1$ đến $30$ là: $5, 10, 15, 20, 25, 30$.

Số phần tử của biến cố $A$ là $n(A) = 6$.

Xác suất của biến cố $A$ là:

$P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 0,2$.

Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: $0,20$.

Đáp số: $0,20$.

Câu 3.

Để tìm độ dài ngắn nhất mà kiến phải bò từ $A_1$ đến $K$ trên mặt trụ, ta trải phẳng mặt xung quanh của hình trụ thành một hình chữ nhật.

Chiều cao của hình chữ nhật là chiều cao của hình trụ, $H = 24$ cm.

Độ rộng của hình chữ nhật là chu vi đáy của hình trụ, $C = 2\pi R = 2\pi(9) = 18\pi$ cm.

Điểm $A_1$ nằm ở đáy dưới, ta coi nó có tọa độ $(0, 0)$ trên mặt phẳng trải.

Điểm $K$ nằm trên đường sinh $CC_1$.

Khoảng cách từ $C$ đến $K$ là $CK = 4$ cm.

Vì $C_1$ ở đáy dưới và $C$ ở đáy trên, nên khoảng cách từ $C_1$ đến $K$ theo chiều cao là $24 - 4 = 20$ cm.

Vậy, tọa độ của $K$ trên mặt phẳng trải là $(x_K, 20)$.

Để tìm $x_K$, ta cần tính độ dài cung $A_1C_1$ (hoặc $AC$) trên đáy hình trụ.

Góc $\widehat{AOC} = 128^\circ$.

Độ dài cung $AC$ (độ dài đường đi ngang trên mặt phẳng trải) là:

$L_{AC} = \frac{\text{góc}}{360^\circ} \times \text{chu vi đáy} = \frac{128}{360} \times 18\pi = \frac{16}{45} \times 18\pi = \frac{16 \times 2}{5}\pi = \frac{32}{5}\pi$ cm.

Độ dài đường đi ngắn nhất từ $A_1$ đến $K$ trên mặt phẳng trải là đoạn thẳng nối $(0, 0)$ và $(\frac{32}{5}\pi, 20)$.

Sử dụng định lý Pythagore:

$d = \sqrt{\left(\frac{32}{5}\pi\right)^2 + 20^2}$

$d = \sqrt{\left(\frac{32\pi}{5}\right)^2 + 400}$

Thay $\pi \approx 3,14159$:

$\frac{32\pi}{5} \approx \frac{32 \times 3,14159}{5} \approx \frac{100,53088}{5} \approx 20,106176$

$d \approx \sqrt{(20,106176)^2 + 400}$

$d \approx \sqrt{404,2583 + 400}$

$d \approx \sqrt{804,2583}$

$d \approx 28,36$ cm.

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười: $28,4$ $cm$

Đáp số: $28,4$ $cm$

Câu 4.

Gọi $R_O$ và $R_{O'}$ lần lượt là bán kính của đường tròn $(O)$ và $(O')$.

Theo đề bài:

$OO' = 2,5$ cm.

$O'OC$ là đường kính của đường tròn $(O)$. Điều này có nghĩa là $O$ là tâm của đường tròn $(O)$ và $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $O'C$.

Vì $O'$ nằm trên đường tròn $(O)$, nên $OO'$ là bán kính của $(O)$.

$\Rightarrow R_O = OO' = 2,5$ cm.

Vì $O$ là trung điểm của $O'C$, nên $O'C = 2 \cdot OO' = 2 \cdot 2,5 = 5$ cm.

Điểm $A$ nằm trên đường tròn $(O)$ và $O'C$ là đường kính của $(O)$. Do đó, tam giác $AO'C$ là tam giác vuông tại $A$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Trong tam giác vuông $AO'C$ tại $A$:

Ta có $O'A = 3$ cm (đề bài).

$O'C = 5$ cm (đã tính).

Áp dụng định lý Pythagore: $AC^2 + O'A^2 = O'C^2$

$AC^2 + 3^2 = 5^2$

$AC^2 + 9 = 25$

$AC^2 = 16 \Rightarrow AC = 4$ $cm$

Hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A$ và $B$.

Đoạn thẳng $AB$ là dây chung của hai đường tròn. Đường nối tâm $OO'$ vuông góc với $AB$ tại trung điểm $H$ của $AB$.

Trong tam giác $AOO'$: $OA = R_O = 2,5$ cm, $O'A = R_{O'} = 3$ cm (vì $A$ nằm trên $(O')$), $OO' = 2,5$ cm.

Đây là tam giác cân tại $O$.

Đặt $AH = x$.

Áp dụng công thức đường cao trong tam giác $AOO'$ (nếu kẻ đường cao từ $A$ xuống $OO'$).

Hoặc, sử dụng hệ trục tọa độ:

Chọn $O$ là gốc tọa độ $(0;0)$.

Vì $O' \in (O)$ và $OO'=2.5$ nên ta có thể đặt $O'(2.5;0)$.

Vì $O'OC$ là đường kính của $(O)$, $C$ sẽ là $(-2.5;0)$.

Điểm $A(x_A; y_A)$ thuộc $(O)$ nên $x_A^2 + y_A^2 = R_O^2 = 2.5^2 = 6.25$.

Điểm $A(x_A; y_A)$ thuộc $(O')$ và $O'A = 3$, nên $(x_A - 2.5)^2 + y_A^2 = 3^2 = 9$.

Thay $y_A^2 = 6.25 - x_A^2$ vào phương trình thứ hai:

$(x_A - 2.5)^2 + (6.25 - x_A^2) = 9$

$x_A^2 - 5x_A + 6.25 + 6.25 - x_A^2 = 9$

$-5x_A + 12.5 = 9$

$-5x_A = 9 - 12.5 = -3.5$

$x_A = \frac{-3.5}{-5} = 0.7$.

Khi đó $y_A^2 = 6.25 - (0.7)^2 = 6.25 - 0.49 = 5.76$.

$y_A = \sqrt{5.76} = 2.4$ (chọn $y_A > 0$).

Vậy $A(0.7; 2.4)$.

Do tính đối xứng của hai đường tròn qua đường nối tâm $OO'$, nếu $A(x_A; y_A)$ là một giao điểm thì $B(x_A; -y_A)$ là giao điểm còn lại.

Vậy $B(0.7; -2.4)$.

Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$:

$AB = \sqrt{(0.7 - 0.7)^2 + (2.4 - (-2.4))^2} = \sqrt{0^2 + (4.8)^2} = 4.8$ cm.

$AC = \sqrt{(0.7 - (-2.5))^2 + (2.4 - 0)^2} = \sqrt{(3.2)^2 + (2.4)^2} = \sqrt{10.24 + 5.76} = \sqrt{16} = 4$ cm. (Đã kiểm tra khớp với tính toán trên).

$BC = \sqrt{(0.7 - (-2.5))^2 + (-2.4 - 0)^2} = \sqrt{(3.2)^2 + (-2.4)^2} = \sqrt{10.24 + 5.76} = \sqrt{16} = 4$ cm.

Chu vi của tam giác $ABC$ là:

$P_{ABC} = AB + AC + BC = 4.8 + 4 + 4 = 12.8$ cm.

Làm tròn kết quả đến độ chính xác $0,05$ (tức là làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai và là bội của $0,05$).

$12.8$ có thể viết là $12.80$.

Đáp số: $12,80$ $cm$

Câu 5.

Gọi $P$ là số tiền (triệu đồng) mà chị Hân cần gửi tiết kiệm.

Lãi suất gửi tiết kiệm là $5,2\%$ năm, kỳ hạn $12$ tháng (tức $1$ năm).

Số tiền lãi thu được sau $1$ năm là: $I = P \times 5,2\% = P \times 0,052$.

Chị Hân mong muốn sau một năm sẽ nhận được tiền lãi ít nhất là $50$ triệu đồng.

$\Rightarrow I \ge 50$

$0,052 P \ge 50$

$P \ge \frac{50}{0,052}$

$P \ge 961,53846...$

Vì số tiền gửi phải là số nguyên (triệu đồng) và phải đảm bảo tiền lãi *ít nhất* là $50$ triệu đồng, nên ta phải làm tròn lên đến đơn vị gần nhất.

$P = 962$ triệu đồng.

Đáp số: $962$ triệu đồng.

Câu 6.

Gọi $x$ là số cây bưởi trồng thêm. Điều kiện $x \ge 0$ và $x$ là số nguyên.

Số cây bưởi ban đầu là $30$ cây.

Năng suất ban đầu của mỗi cây là $200$ quả.

Khi trồng thêm $x$ cây:

Tổng số cây bưởi trong vườn là: $N = 30 + x$ (cây).

Mỗi khi trồng thêm $1$ cây, năng suất mỗi cây giảm $5$ quả.

Vậy khi trồng thêm $x$ cây, năng suất của mỗi cây sẽ giảm đi $5x$ quả.

Năng suất thực tế của mỗi cây là: $S_c = 200 - 5x$ (quả/cây).

Điều kiện năng suất mỗi cây phải dương: $200 - 5x > 0 \Rightarrow 5x < 200 \Rightarrow x < 40$.

Vậy $0 \le x < 40$.

Tổng sản lượng bưởi của khu vườn là:

$Y = N \times S_c = (30 + x)(200 - 5x)$

$Y = 6000 - 150x + 200x - 5x^2$

$Y = -5x^2 + 50x + 6000$

Đây là một hàm số bậc hai có dạng $Y(x) = ax^2 + bx + c$ với $a = -5 < 0$. Đồ thị là một parabol quay bề lõm xuống dưới, nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

Hoành độ đỉnh của parabol là $x_{đỉnh} = -\frac{b}{2a} = -\frac{50}{2(-5)} = -\frac{50}{-10} = 5$.

Giá trị $x=5$ thỏa mãn điều kiện $0 \le x < 40$.

Vậy, để tổng sản lượng bưởi lớn nhất, người làm vườn cần trồng thêm $5$ cây bưởi.

Khi đó:

Tổng số cây bưởi trong vườn là $30 + 5 = 35$ cây.

Năng suất mỗi cây là $200 - 5 \times 5 = 200 - 25 = 175$ quả.

Tổng sản lượng bưởi của khu vườn là $35 \times 175 = 6125$ quả.

Đáp số: $6125$ quả bưởi.