Giải bài tập toán

Câu 13. Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu: - Xác định các khoảng và trung điểm của các khoảng: - [2,7;3,0): Trung điểm là 2,85 - [3,0;3,3): Trung điểm là 3,15 - [3,3;3,6): Trung điểm là 3,45 - [3,6;3,9): Trung điểm là 3,75 - [3,9;4,2): Trung điểm là 4,05 - Tính trung bình cộng: $$ Trong đó, $$ là tần số của nhóm thứ i và $$ là trung điểm của nhóm thứ i. $$ $$ $$ 2. Tính phương sai: - Phương sai $$ được tính theo công thức: $$ $$ $$ $$ $$ $$ Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là $$. Do đó, đáp án đúng là D. 0,36. Câu 14. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung vị: Trung vị là giá trị ở giữa của một dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Nếu số lượng giá trị là lẻ, trung vị là giá trị ở chính giữa. Nếu số lượng giá trị là chẵn, trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa. 2. Tìm phương sai: Phương sai là trung bình cộng của các bình phương hiệu giữa mỗi giá trị và giá trị trung bình (trung số). 3. Tìm độ lệch chuẩn: Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai. Bước 1: Tìm trung vị Dãy số khối lượng quả măng cụt đã sắp xếp: $$ Số lượng giá trị là 10 (số chẵn), nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa: $$ Bước 2: Tìm phương sai Trước tiên, tính trung số (trung bình cộng): $$ Tiếp theo, tính bình phương hiệu giữa mỗi giá trị và trung số: $$ Tổng các bình phương hiệu: $$ Phương sai: $$ Bước 3: Tìm độ lệch chuẩn Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai: $$ Kết luận - Trung vị: 0.95 - Phương sai: 0.0825 - Độ lệch chuẩn: 0.287 Đáp số: - Trung vị: 0.95 - Phương sai: 0.0825 - Độ lệch chuẩn: 0.287 Câu 23. Để tìm tứ phân vị thứ nhất (Q1) của mẫu số liệu, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vị trí của Q1: - Số lượng học sinh là 40. - Vị trí của Q1 là $$. Do đó, Q1 nằm ở khoảng thứ hai (khoảng [50; 60)). 2. Tính Q1: - Khoảng [50; 60) có 12 học sinh. - Vị trí của Q1 trong khoảng này là 10,25 - 7 = 3,25 (vì 7 học sinh thuộc khoảng trước đó). 3. Áp dụng công thức tính Q1: - Công thức tính Q1 trong khoảng là: $$ - Trong đó: - $$ là giới hạn dưới của khoảng chứa Q1 (ở đây là 50). - $$ là tổng số lượng dữ liệu (ở đây là 40). - $$ là tổng tần số của các khoảng trước đó (ở đây là 7). - $$ là tần số của khoảng chứa Q1 (ở đây là 12). - $$ là độ rộng của khoảng (ở đây là 10). - Thay các giá trị vào công thức: $$ $$ $$ $$ Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với giá trị 52,5. Đáp án: C. 52,5 Câu 32. Trước tiên, ta cần xác định tổng số học sinh và vị trí của trung vị trong dãy số liệu. Tổng số học sinh là 30 học sinh. Trung vị của một dãy số liệu gồm 30 số sẽ là giá trị nằm giữa hai số ở vị trí thứ 15 và 16. Ta có: - Số học sinh có điểm trong khoảng [2;4) là 4 học sinh. - Số học sinh có điểm trong khoảng [4;6) là 8 học sinh. - Số học sinh có điểm trong khoảng [6;8) là m học sinh. - Số học sinh có điểm trong khoảng [8;10) là 7 học sinh. Tổng số học sinh là 30, nên ta có: $$ $$ $$ Vậy số học sinh có điểm trong khoảng [6;8) là 11 học sinh. Bây giờ, ta xác định vị trí của trung vị: - Khoảng [2;4) có 4 học sinh. - Khoảng [4;6) có 8 học sinh, tổng là 4 + 8 = 12 học sinh. - Khoảng [6;8) có 11 học sinh, tổng là 12 + 11 = 23 học sinh. - Khoảng [8;10) có 7 học sinh, tổng là 23 + 7 = 30 học sinh. Vị trí của trung vị nằm giữa hai số ở vị trí thứ 15 và 16. Ta thấy rằng: - Vị trí thứ 15 và 16 đều nằm trong khoảng [6;8). Do đó, trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng [6;8). Đáp án đúng là: C. [6;8). Câu 33. Để tìm khoảng tứ phân vị của bảng số liệu, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm Q1 (tứ phân vị thứ nhất): - Tổng số lượng học sinh là: 6 + 12 + 13 + 10 + 3 = 44 học sinh. - Vị trí của Q1 là: $$ (vị trí thứ 11 trong dãy sắp xếp). Xem xét các khoảng thời gian: - [4;5): 6 học sinh - [5;6): 12 học sinh Vị trí thứ 11 nằm trong khoảng [5;6). Do đó, Q1 thuộc khoảng này. 2. Tìm Q3 (tứ phân vị thứ ba): - Vị trí của Q3 là: $$ (vị trí thứ 33 trong dãy sắp xếp). Xem xét các khoảng thời gian: - [4;5): 6 học sinh - [5;6): 12 học sinh - [6;7): 13 học sinh - [7;8): 10 học sinh - [8;9): 3 học sinh Vị trí thứ 33 nằm trong khoảng [7;8). Do đó, Q3 thuộc khoảng này. 3. Tính khoảng tứ phân vị: - Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 - Q1 nằm trong khoảng [5;6), ta chọn giá trị trung tâm là 5,5. - Q3 nằm trong khoảng [7;8), ta chọn giá trị trung tâm là 7,5. Vậy khoảng tứ phân vị là: $$ Tuy nhiên, theo các đáp án đã cho, chúng ta cần kiểm tra lại các giá trị gần đúng hơn. Ta có thể chọn các giá trị cận dưới hoặc cận trên của khoảng để tính toán lại. - Nếu chọn cận dưới của Q1 là 5 và cận dưới của Q3 là 7: $$ - Nếu chọn cận trên của Q1 là 6 và cận trên của Q3 là 8: $$ Nhìn chung, các giá trị đều cho kết quả khoảng tứ phân vị là 2. Tuy nhiên, theo các đáp án đã cho, chúng ta cần chọn giá trị gần nhất. Do đó, khoảng tứ phân vị gần nhất với giá trị 1,79. Đáp án: C. 1,79 Câu 31. Để tìm đạo hàm của hàm số $$, chúng ta sẽ sử dụng công thức đạo hàm của hàm cos và chuỗi đạo hàm. 1. Công thức đạo hàm của hàm cos: $$ Trong đó, $$. 2. Tính đạo hàm của $$: $$ 3. Áp dụng công thức đạo hàm của hàm cos: $$ Thay $$ vào: $$ Kết quả cuối cùng: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 32. Để tìm tập xác định của hàm số $$, chúng ta cần đảm bảo rằng đối số của hàm logarit phải dương. Hàm số $$ có nghĩa là $$. Do đó, tập xác định của hàm số này là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 33. Để tìm tập xác định của hàm số $$, ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu logarit dương, tức là: $$ Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình bậc hai $$. Phương trình này có dạng $$, với $$, $$, và $$. Ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: $$ Thay các giá trị vào công thức: $$ $$ $$ $$ Ta có hai nghiệm: $$ $$ Bước 2: Xác định khoảng giá trị của $$ sao cho $$. Biểu thức $$ là một parabol mở lên (vì hệ số $$). Do đó, biểu thức này sẽ dương ở hai khoảng bên ngoài các nghiệm, tức là: $$ Bước 3: Kết luận tập xác định của hàm số. Tập xác định của hàm số $$ là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 34. Điều kiện xác định: $$ $$ $$ hoặc $$ Phương trình $$ không đúng vì $$ không tồn tại. Do đó, phương trình đã cho không có nghiệm nào thỏa mãn. Vậy tập nghiệm của phương trình là rỗng. Đáp án: Tập nghiệm rỗng. Câu 35. Để giải bất phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong logarit dương: $$ 2. Giải bất phương trình logarit: Ta có: $$ Điều này tương đương với: $$ Vì $$ nghĩa là $$ phải lớn hơn $$. Do đó: $$ 3. Kiểm tra điều kiện xác định: Chúng ta đã xác định điều kiện $$. Kết hợp với điều kiện từ bất phương trình, ta có: $$ Vậy nghiệm của bất phương trình là: $$ Đáp án đúng là: B. $$ Câu 36. Để giải bất phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $$, ta cần đảm bảo rằng $$ vì đối số của hàm logarit phải dương. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $$. - Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của hàm logarit: $$ - Tính $$: $$ 3. Tìm tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $$ và kết quả từ bước trên $$, ta có: $$ - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $$. Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 37. Để giải bất phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $$, ta cần đảm bảo rằng $$. Điều này dẫn đến: $$ 2. Giải bất phương trình: - Ta có $$. Vì hàm số $$ là hàm số đồng biến trên tập xác định của nó, nên ta có thể loại bỏ"log" từ cả hai vế: $$ - Chia cả hai vế cho 2: $$ 3. Kiểm tra điều kiện xác định: - Ta đã xác định điều kiện $$. Kết hợp với điều kiện $$, ta thấy rằng điều kiện $$ đã bao gồm điều kiện $$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình $$ là: $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 42. Để giải bất phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $$, ta cần đảm bảo rằng $$. Do đó: $$ 2. Giải bất phương trình: - Ta có $$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit: $$ - Điều này tương đương với: $$ - Vì hàm lôgarit cơ sở 2 là hàm đồng biến, nên ta có: $$ - Giải bất phương trình này: $$ 3. Tìm tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $$ và kết quả từ bước 2 ($$), ta có: $$ - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 43. Để giải phương trình $$, ta áp dụng phương pháp chuyển vế và sử dụng tính chất của lôgarit. Bước 1: Xác định phương trình đã cho: $$ Bước 2: Áp dụng tính chất của lôgarit để chuyển vế: $$ Vậy nghiệm của phương trình là: $$ Do đó, đáp án đúng là: $$ Câu 44. Để giải bất phương trình $$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện: - Bất phương trình $$ có nghĩa là $$ phải nhỏ hơn 1. Ta biết rằng $$. 2. So sánh với cơ số: - Ta nhận thấy rằng $$ tương đương với $$. 3. Áp dụng tính chất của lũy thừa: - Vì cơ số $$, nên khi lũy thừa của nó giảm dần từ 1 về 0, giá trị của lũy thừa cũng giảm dần. Do đó, $$ khi $$. 4. Kết luận tập nghiệm: - Vậy tập nghiệm của bất phương trình $$ là $$. Do đó, tập nghiệm của bất phương trình $$ là: $$ Đáp án đúng là: $$. Câu 45. Để giải bất phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $$, ta cần $$, suy ra $$. 2. Giải bất phương trình: - Ta có $$. - Điều này tương đương với $$ (vì $$). - Do đó, $$. - Suy ra $$. 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $$ và kết quả từ bất phương trình $$, ta có: $$ - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $$. Đáp án: A. $$. Câu 46. Để giải bất phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với bất phương trình $$, ta cần đảm bảo rằng $$. Do đó: $$ 2. Giải bất phương trình: - Ta có $$. Để giải bất phương trình này, ta chuyển về dạng tương đương bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit: $$ - Vì hàm lôgarit cơ sở 4 là hàm đồng biến, nên ta có: $$ - Giải bất phương trình này: $$ 3. Xác định tập nghiệm: - Kết hợp điều kiện xác định $$ và kết quả từ bước 2 ($$), ta có: $$ - Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $$ Đáp án: $$ Lời giải chi tiết: - Điều kiện xác định: $$ - Giải bất phương trình: $$ - Kết hợp điều kiện xác định và kết quả giải bất phương trình: $$ - Tập nghiệm: $$ Do đó, đáp án đúng là $$. Câu 47. Để giải bất phương trình $$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Điều kiện để $$ có nghĩa là: $$ $$ Bước 2: Giải bất phương trình Ta có: $$ Trừ cả hai vế cho 1: $$ Bước 3: Chuyển về dạng lũy thừa Ta biết rằng $$ tương đương với: $$ Vì $$, nên ta có: $$ Bước 4: Giải bất phương trình $$ $$ $$ Bước 5: Kết hợp điều kiện xác định Từ điều kiện xác định $$ và kết quả từ bất phương trình $$, ta có: $$ Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $$ Do đó, đáp án đúng là: $$