giải chi tiết

Để tối đa hóa lợi nhuận hàng tuần, chúng ta cần tính toán lợi nhuận dựa trên giá bán và số lượng điện thoại bán ra, cũng như chi phí sản xuất và chi phí cố định. Gọi giá bán mỗi chiếc điện thoại là \( p \) triệu đồng, và số lượng điện thoại bán ra mỗi tuần là \( q \) chiếc. 1. Xác định mối liên hệ giữa giá bán và số lượng bán ra: - Ban đầu, giá bán là 20 triệu đồng và số lượng bán ra là 2000 chiếc. - Mỗi lần giảm giá 1 triệu đồng, số lượng bán ra tăng thêm 200 chiếc. - Nếu giá bán giảm \( x \) triệu đồng, thì số lượng bán ra sẽ tăng thêm \( 200x \) chiếc. Vậy: \[ p = 20 - x \] \[ q = 2000 + 200x \] 2. Xác định chi phí sản xuất mỗi chiếc điện thoại: - Chi phí ban đầu để sản xuất mỗi chiếc điện thoại là 10 triệu đồng. - Mỗi lần giảm giá thêm 1 triệu đồng, chi phí sản xuất cho mỗi chiếc điện thoại tăng thêm 500 nghìn đồng. Vậy: \[ \text{Chi phí sản xuất mỗi chiếc điện thoại} = 10 + 0.5x \] 3. Tính doanh thu và chi phí: - Doanh thu hàng tuần: \[ \text{Doanh thu} = p \times q = (20 - x)(2000 + 200x) \] - Chi phí sản xuất hàng tuần: \[ \text{Chi phí sản xuất} = (10 + 0.5x) \times q = (10 + 0.5x)(2000 + 200x) \] - Chi phí cố định hàng tuần là 20,000 triệu đồng. 4. Tính lợi nhuận hàng tuần: \[ \text{Lợi nhuận} = \text{Doanh thu} - (\text{Chi phí sản xuất} + \text{Chi phí cố định}) \] \[ \text{Lợi nhuận} = (20 - x)(2000 + 200x) - [(10 + 0.5x)(2000 + 200x) + 20000] \] 5. Rút gọn biểu thức lợi nhuận: \[ \text{Lợi nhuận} = (20 - x)(2000 + 200x) - (10 + 0.5x)(2000 + 200x) - 20000 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (20 - x - 10 - 0.5x)(2000 + 200x) - 20000 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (10 - 1.5x)(2000 + 200x) - 20000 \] \[ \text{Lợi nhuận} = 20000 + 2000x - 3000x - 300x^2 - 20000 \] \[ \text{Lợi nhuận} = -300x^2 - 1000x \] 6. Tìm giá trị của \( x \) để lợi nhuận tối đa: Để tìm giá trị của \( x \) tối đa hóa lợi nhuận, chúng ta lấy đạo hàm của biểu thức lợi nhuận và đặt bằng 0: \[ \frac{d(\text{Lợi nhuận})}{dx} = -600x - 1000 = 0 \] \[ -600x - 1000 = 0 \] \[ x = -\frac{1000}{600} = -\frac{5}{3} \approx -1.67 \] Vì giá trị \( x \) không hợp lý (vì giá bán không thể âm), chúng ta cần kiểm tra lại các giá trị cận biên hoặc sử dụng phương pháp khác để tối ưu hóa lợi nhuận. 7. Kiểm tra các giá trị cận biên: - Nếu \( x = 0 \): \[ p = 20, \quad q = 2000 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (20 - 10)(2000) - 20000 = 10000 - 20000 = -10000 \] - Nếu \( x = 1 \): \[ p = 19, \quad q = 2200 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (19 - 10.5)(2200) - 20000 = 8.5 \times 2200 - 20000 = 18700 - 20000 = -1300 \] - Nếu \( x = 2 \): \[ p = 18, \quad q = 2400 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (18 - 11)(2400) - 20000 = 7 \times 2400 - 20000 = 16800 - 20000 = -3200 \] - Nếu \( x = 3 \): \[ p = 17, \quad q = 2600 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (17 - 11.5)(2600) - 20000 = 5.5 \times 2600 - 20000 = 14300 - 20000 = -5700 \] - Nếu \( x = 4 \): \[ p = 16, \quad q = 2800 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (16 - 12)(2800) - 20000 = 4 \times 2800 - 20000 = 11200 - 20000 = -8800 \] - Nếu \( x = 5 \): \[ p = 15, \quad q = 3000 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (15 - 12.5)(3000) - 20000 = 2.5 \times 3000 - 20000 = 7500 - 20000 = -12500 \] - Nếu \( x = 6 \): \[ p = 14, \quad q = 3200 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (14 - 13)(3200) - 20000 = 1 \times 3200 - 20000 = 3200 - 20000 = -16800 \] - Nếu \( x = 7 \): \[ p = 13, \quad q = 3400 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (13 - 13.5)(3400) - 20000 = -0.5 \times 3400 - 20000 = -1700 - 20000 = -21700 \] - Nếu \( x = 8 \): \[ p = 12, \quad q = 3600 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (12 - 14)(3600) - 20000 = -2 \times 3600 - 20000 = -7200 - 20000 = -27200 \] - Nếu \( x = 9 \): \[ p = 11, \quad q = 3800 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (11 - 14.5)(3800) - 20000 = -3.5 \times 3800 - 20000 = -13300 - 20000 = -33300 \] - Nếu \( x = 10 \): \[ p = 10, \quad q = 4000 \] \[ \text{Lợi nhuận} = (10 - 15)(4000) - 20000 = -5 \times 4000 - 20000 = -20000 - 20000 = -40000 \] Từ các giá trị trên, ta thấy rằng lợi nhuận tối đa xảy ra khi \( x = 0 \), tức là giá bán không thay đổi. Vậy giá bán mỗi chiếc điện thoại để tối đa hóa lợi nhuận hàng tuần là 20 triệu đồng.