giải chi tiết

Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của các điểm A và D. 2. Tìm tọa độ của điểm B. 3. Tìm tọa độ của điểm C. 4. Tính tổng \(a + b + c\) của tọa độ điểm C. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm A và D Điểm A thuộc mặt phẳng (Oxz), do đó tọa độ của A có dạng \((x_A, 0, z_A)\). Điểm D thuộc mặt phẳng (Oyz), do đó tọa độ của D có dạng \((0, y_D, z_D)\). Cả hai điểm A và D đều thuộc đường thẳng \(d: \left\{\begin{array}{l}x=2-2t\\y=3t\\z=4\end{array}\right.\). Tìm tọa độ của điểm A: - Vì A thuộc (Oxz), nên \(y_A = 0\). - Thay \(y = 0\) vào phương trình đường thẳng \(d\): \[ 0 = 3t \Rightarrow t = 0 \] - Thay \(t = 0\) vào phương trình đường thẳng \(d\): \[ x_A = 2 - 2 \cdot 0 = 2 \] \[ z_A = 4 \] Do đó, tọa độ của điểm A là \((2, 0, 4)\). Tìm tọa độ của điểm D: - Vì D thuộc (Oyz), nên \(x_D = 0\). - Thay \(x = 0\) vào phương trình đường thẳng \(d\): \[ 0 = 2 - 2t \Rightarrow t = 1 \] - Thay \(t = 1\) vào phương trình đường thẳng \(d\): \[ y_D = 3 \cdot 1 = 3 \] \[ z_D = 4 \] Do đó, tọa độ của điểm D là \((0, 3, 4)\). Bước 2: Tìm tọa độ của điểm B Điểm B nằm trên mặt phẳng (Oxy), do đó tọa độ của B có dạng \((x_B, y_B, 0)\). Tìm tọa độ của điểm B: - Vì B nằm trên mặt phẳng (Oxy), nên \(z_B = 0\). - Ta biết rằng \(sin \theta = \frac{2}{3}\), trong đó \(\theta\) là góc giữa đoạn thẳng AB và mặt phẳng (Oxy). Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - 2, y_B, -4) \] Phương pháp tính \(sin \theta\) từ vector: \[ sin \theta = \frac{|z|}{|\overrightarrow{AB}|} \] \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(x_B - 2)^2 + y_B^2 + (-4)^2} \] \[ \frac{2}{3} = \frac{4}{\sqrt{(x_B - 2)^2 + y_B^2 + 16}} \] \[ \frac{2}{3} = \frac{4}{\sqrt{(x_B - 2)^2 + y_B^2 + 16}} \] \[ \sqrt{(x_B - 2)^2 + y_B^2 + 16} = 6 \] \[ (x_B - 2)^2 + y_B^2 + 16 = 36 \] \[ (x_B - 2)^2 + y_B^2 = 20 \] Giả sử \(x_B = 4\) và \(y_B = 2\), ta kiểm tra lại: \[ (4 - 2)^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8 \neq 20 \] Do đó, ta chọn \(x_B = 4\) và \(y_B = 4\): \[ (4 - 2)^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20 \] Tọa độ của điểm B là \((4, 4, 0)\). Bước 3: Tìm tọa độ của điểm C Điểm C nằm trên mặt phẳng (Oxy), do đó tọa độ của C có dạng \((x_C, y_C, 0)\). Tìm tọa độ của điểm C: - Vì C nằm trên mặt phẳng (Oxy), nên \(z_C = 0\). - Ta biết rằng đoạn thẳng BC nằm trên mặt phẳng (Oxy), do đó: \[ \overrightarrow{BC} = (x_C - 4, y_C - 4, 0) \] Vì ABCD là hình chữ nhật, nên: \[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} \] \[ \overrightarrow{AD} = (0 - 2, 3 - 0, 4 - 4) = (-2, 3, 0) \] \[ \overrightarrow{BC} = (-2, 3, 0) \] Do đó: \[ x_C - 4 = -2 \Rightarrow x_C = 2 \] \[ y_C - 4 = 3 \Rightarrow y_C = 7 \] Tọa độ của điểm C là \((2, 7, 0)\). Bước 4: Tính tổng \(a + b + c\) của tọa độ điểm C \[ a + b + c = 2 + 7 + 0 = 9 \] Vậy giá trị của \(a + b + c\) là 9.