lamf giups toii

Câu 1:

Hàm số đã cho là $y = 2^{\sqrt{x}} + \log(3-x)$.

Để hàm số xác định, các điều kiện sau phải được thỏa mãn:

1. Biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải không âm: $x \ge 0$.

2. Biểu thức trong logarit phải dương: $3-x > 0 \Leftrightarrow x < 3$.

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có $0 \le x < 3$.

Vậy, tập xác định của hàm số là $D = [0; 3)$.

Câu 2:

Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $2a$. $I$ là trung điểm của $BC$. Góc giữa $A'I$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng $30^\circ$.

*  Phân tích hình học:

  *  Do $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ tam giác đều, nên đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$.

  *  $AA' \perp (ABC)$ (lăng trụ đứng).

  *  $I$ là trung điểm của $BC$, nên $AI$ là đường cao của tam giác đều $ABC$.

  *  $AI \perp BC$.

  *  Độ dài $AI = \frac{(2a)\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$.

  *  Góc giữa $A'I$ và mặt phẳng $(ABC)$ chính là góc giữa $A'I$ và hình chiếu của nó lên mặt phẳng $(ABC)$. Vì $AA' \perp (ABC)$, hình chiếu của $A'I$ lên $(ABC)$ là $AI$.

  *  Do đó, $\widehat{A'IA} = 30^\circ$.

  *  Trong tam giác vuông $A'AI$ (vuông tại $A$), ta có $\tan(\widehat{A'IA}) = \frac{AA'}{AI}$.

  *  $AA' = AI \cdot \tan(30^\circ) = (a\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = a$.

  *  Chiều cao của lăng trụ là $h = AA' = a$.

a) Chứng minh $(A'AI) \perp (A'BC).`

Ta có:

*  $BC \perp AI$ (vì $AI$ là đường cao của tam giác đều $ABC$).

*  $BC \perp AA'$ (vì $AA' \perp (ABC)$).

Từ hai điều kiện trên, suy ra $BC \perp (A'AI)$ (vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AI$ và $AA'$ nằm trong mặt phẳng $(A'AI)$).

Mà $BC$ nằm trong mặt phẳng $(A'BC)$.

Do đó, $(A'AI) \perp (A'BC)$. (Mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc với nhau).

b) Tính khoảng cách giữa $AA'$ và mặt phẳng $(BCC'B').`

Ta có $AA' \parallel BB'$ và $BB' \subset (BCC'B')$, suy ra $AA' \parallel (BCC'B')$.

Khoảng cách giữa đường thẳng $AA'$ và mặt phẳng $(BCC'B')$ chính là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên $AA'$ đến mặt phẳng $(BCC'B')$. Ta chọn điểm $A$.

*  $AI \perp BC$ (đã chứng minh ở trên).

*  $AI \perp BB'$ (vì $AI \subset (ABC)$ và $BB' \perp (ABC)$).

Từ hai điều kiện trên, suy ra $AI \perp (BCC'B')$ (vì $AI$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BC$ và $BB'$ nằm trong mặt phẳng $(BCC'B')$).

Do đó, khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BCC'B')$ chính là độ dài đoạn thẳng $AI$.

Khoảng cách $d(AA', (BCC'B')) = AI = a\sqrt{3}$.

c) Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'.`

Thể tích khối lăng trụ được tính theo công thức $V = S_{đáy} \cdot h$, với $S_{đáy}$ là diện tích đáy và $h$ là chiều cao của lăng trụ.

*  Diện tích đáy $S_{ABC}$: Tam giác $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$.

  $S_{ABC} = \frac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{4a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$.

*  Chiều cao của lăng trụ $h = AA' = a$ (đã tính ở phần phân tích).

Vậy, thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ là $V = (a^2\sqrt{3}) \cdot a = a^3\sqrt{3}$.

Câu 3:

Ông Tư muốn thiết kế một mái che giếng trời hình chóp đều di động để có thể lấy ánh sáng cho ngôi nhà của mình. Đáy của hình chóp có độ dài cạnh là $3m$. Ông An mong muốn góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt phẳng nằm ngang $(ABCD)$ là $\alpha$ không quá $60^\circ$.

*  Phân tích hình học:

  *  "Hình chóp đều" và "đáy của hình chóp có độ dài cạnh là $3m$" cùng với "mặt phẳng nằm ngang $(ABCD)$" ngụ ý đây là hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ với đáy là hình vuông $ABCD$ cạnh $AB = 3m$.

  *  Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$ (giao điểm của $AC$ và $BD$). Do $S.ABCD$ là hình chóp đều, $SO \perp (ABCD)$. $SO$ là chiều cao của hình chóp, gọi là $h$.

  *  Để xác định góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt phẳng $(ABCD)$, ta làm như sau:

    *  Giao tuyến của $(SBC)$ và $(ABCD)$ là $BC$.

    *  Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Khi đó $OM \perp BC$ (vì $ABCD$ là hình vuông và $O$ là tâm, $OM$ là đường trung bình). Độ dài $OM = \frac{AB}{2} = \frac{3}{2}$ (m).

    *  Trong mặt phẳng $(SBC)$, $SM$ là đường trung tuyến của tam giác cân $SBC$ (vì $SB=SC$ do $S.ABCD$ là hình chóp đều), nên $SM$ cũng là đường cao, tức $SM \perp BC$.

    *  Góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt phẳng $(ABCD)$ chính là góc giữa hai đường thẳng $OM$ và $SM$, tức là $\widehat{SMO}$. Gọi góc này là $\alpha$.

  *  Trong tam giác vuông $SOM$ (vuông tại $O$), ta có:

    $\tan(\widehat{SMO}) = \frac{SO}{OM} = \frac{h}{3/2} = \frac{2h}{3}$.

  *  Theo yêu cầu của ông An, góc $\alpha$ không quá $60^\circ$, tức là $\alpha \le 60^\circ$.

  *  Vì hàm $\tan x$ đồng biến trên khoảng $[0^\circ; 90^\circ)$, điều kiện $\alpha \le 60^\circ$ tương đương với $\tan \alpha \le \tan 60^\circ$.

  *  $\frac{2h}{3} \le \sqrt{3}$.

  *  $2h \le 3\sqrt{3}$.

  *  $h \le \frac{3\sqrt{3}}{2}$.

Kết luận cho Câu 3:

Điều kiện mà ông An mong muốn (góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt phẳng nằm ngang $(ABCD)$ là $\alpha$ không quá $60^\circ$) có nghĩa là chiều cao $h$ của hình chóp không được vượt quá $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ mét.

Tức là, $h_{max} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$ (mét).